Reguła LaSalle’a

Reguła LaSalle’a (znana również jako reguła Barbaszina-Krasowskiego-LaSalle’a lub reguła Krsowskiego-LaSalle’a) – kryterium asymptotycznej stabilności autonomicznych (także nieliniowych) układów dynamicznych.

Wersja globalna

Niech autonomiczny układ dynamiczny będzie dany przez:

${\dot {\mathbf {x} }}=f(\mathbf {x} ),$

gdzie $\mathbf {x}$ – jest wektorem wektor zmiennych, oraz:

$f(\mathbf {0} )=\mathbf {0} .$

Jeśli istnieje funkcja $V(x)\in C^{1},$ taka że:

${\dot {V}}(\mathbf {x} )\leqslant 0$ dla wszystkich $\mathbf {x} ,$

wtedy zbiór graniczny każdej trajektorii jest zawarty w $Q,$ gdzie $Q$ to suma trajektorii zawartych w zbiorze $\{\mathbf {x} :{\dot {V}}(\mathbf {x} )=0\}.$

Jeśli ponadto dla funkcji $V$ mamy:

$V(\mathbf {x} )>0,$ dla wszystkich $\mathbf {x} \neq \mathbf {0}$

$V(\mathbf {0} )=0$

i jeśli $Q$ nie zawiera trajektorii innych niż $\mathbf {x} (t)=\mathbf {0}$ for $t\geqslant 0,$ wtedy środek układu współrzędnych jest asymptotycznie stabilny.

Dodatkowo, jeśli $V$ jest nieograniczona z rosnącą normą, tj.

$V(\mathbf {x} )\to \infty ,$ gdy $\|\mathbf {x} \|\to \infty ,$

wtedy środek jest globalnie asymptotycznie stabilny.

Wersja lokalna

Jeśli:

$V(\mathbf {x} )>0,$ dla $\mathbf {x} \neq \mathbf {0}$

${\dot {V}}(\mathbf {x} )\leqslant 0$

zachodzi tylko dla $\mathbf {x}$ w pewnym otoczeniu $\mathbf {0} \in D,$ oraz zbiór

$\{{\dot {V}}(\mathbf {x} )=0\}\bigcap D$

nie zawiera trajektorii układu poza trajektorią trywialną, wtedy lokalna wersja twierdzenia mówi, że początek układu współrzędnych jest asymptotycznie stabilny.

Oryginalne publikacje

• Joseph LaSalle. Some extensions of Liapunov’s second method. „IRE Transactions on Circuit Theory”, s. 520–527, 1960. 
• E.A. Barbashin, N. Krasovskii. Yстойчивости движения в целом. „Doklady Akademii Nauk SSSR”. 86, s. 453–456, 1952. 
• N.N. Krasovskii N.N., Problems of the Theory of Stability of Motion (przekład angielski), Stanford University Press, 1963 . Brak numerów stron w książce

Bibliografia

• J.P. LaSalle, S. Lefschetz: Stability by Liapunov’s direct method. Academic Press, 1961. Brak numerów stron w książce
• W.M. Haddad, V.S. Chellaboina: Nonlinear Dynamical Systems and Control, a Lyapunov-based approach. Princeton University Press, 2008. ISBN 978-0-691-13329-4. Brak numerów stron w książce
• G. Teschl: Ordinary Differential Equations and Dynamical Systems. Providence, Rhode Island: American Mathematical Society, 2012. ISBN 978-0-8218-8328-0. Brak numerów stron w książce
• S. Wiggins: Introduction to Applied Nonlinear Dynamical Systems and Chaos. Wyd. 2. Nowy Jork: Springer Verlag, 2003. ISBN 0-387-00177-8. Brak numerów stron w książce