Twierdzenie Pappusa-Guldina

Twierdzenia Pappusa-Guldina, reguły Guldina – dwa twierdzenia stereometrii, ułatwiające obliczanie pola powierzchni obrotowej oraz objętości bryły obrotowej w oparciu o położenie środka masy obracanej krzywej lub figury.

Twierdzenia nazwane zostały od nazwisk Pappusa z Aleksandrii i Paula Guldina.

Pierwsze twierdzenie Pappusa-Guldina

Pole powierzchni, powstałej przez obrót jednorodnej i płaskiej linii dookoła osi leżącej w płaszczyźnie tej linii i nie przecinającej jej, jest równe długości linii $(s)$ pomnożonej przez długość okręgu $(l=2\pi r_{s})$ opisanego przy obrocie przez jej środek masy (punkt $C$).

Np. dla torusa o promieniu $R$ i promieniu okręgu $r,$ długość linii $s=2\pi r,$ długość okręgu dla środka masy $l=2\pi R,$ stąd pole torusa $s\cdot l=4\pi ^{2}rR.$

Drugie twierdzenie Pappusa-Guldina

Objętość bryły, powstałej przy obrocie figury płaskiej dookoła osi leżącej w płaszczyźnie tej figury i nie przecinającej jej, jest równa polu powierzchni figury $(A)$ pomnożonemu przez długość okręgu opisanego $(l=2\pi R_{s})$ przy obrocie przez jej środek masy (punkt $C_{A}$).

Np. dla torusa o promieniu $R$ i promieniu koła $r,$ pole powierzchni koła $A=\pi r^{2},$ długość okręgu dla środka masy $l=2\pi R,$ stąd objętość torusa $A\cdot l=2\pi ^{2}r^{2}R.$

Zobacz też

• twierdzenie Pappusa

Linki zewnętrzne

• PiotrP. Żmijewski PiotrP., Twierdzenie Guldina, „Delta”, lipiec 2001, ISSN 0137-3005 [dostęp 2024-10-24] .
• Marek Kordos, O obrotach figur płaskich, „Delta”, listopad 2015 [dostęp 2016-09-03].
• Eric W.E.W. Weisstein Eric W.E.W., Pappus's Centroid Theorem, [w:] MathWorld, Wolfram Research  (ang.). [dostęp 2022-06-20].