Rachunek kombinatorów

Rachunek kombinatorów (ang. Combinatory Calculi) to jeden z najprostszych możliwych uniwersalnych systemów formalnych.

Na język rachunku kombinatorów składają się kombinator stały K, kombinator rozdzielonej aplikacji S, oraz kombinatory aplikacji złożone z pary dowolnych kombinatorów - funkcji i argumentu:

• σ = S | K | (σ σ)

Derywacją rządzą dwie reguły:

• ((K α) β) → α
• (((S α) β) γ) → ((α γ) (β γ))

Gdzie α, β i γ to dowolne kombinatory.

Tak prosty system jest w stanie wyrazić wszystko, co jest w stanie wyrazić rachunek lambda, dowolna maszyna Turinga czy w ogóle dowolny algorytm.

Kombinatory mają prostą interpretację w rachunku lambda:

• K = λ x . λ y . x
• S = λ x . λ y . λ z . (x z) (y z)

Często wprowadza się też kombinator identyczności I z regułą:

• (I α) → α

Ponieważ system SK już jest kompletny, kombinator ten można przepisać jako (SK)K:

• (((S K) K) α) → ((K α) (K α)) → α

Podobnie jak w rachunku lambda zwykle pomija się nadmiarowe nawiasy, zakładając wiązanie w lewo: α β γ to więc ((α β) γ).

Ponieważ każdy kombinator ma bardzo prostą interpretację w rachunku lambda, badania rachunku kombinatorów są zwykle częścią badań nad rachunkiem lambda.

Z zupełności systemu SK wynika, że każde λ wyrażenie bez zmiennych wolnych (w terminologii rachunku lambda również zwane kombinatorem) można zapisać za pomocą S i K, jednak ze względu na uboższy język, takie wyrażenia mają tendencję do przybierania bardzo dużych rozmiarów.

Przykłady

• Prawda - K
• Fałsz - KI = K(SKK)
• 0 - KI
• 1 - I = SKK
• Następnik - S(S(KS)K)
• Operator paradoksalny - S(S(S(KS)K)(K(SII)))(S(S(KS)K)(K(SII))) = S(S(S(KS)K)(K(S(SKK)(SKK))))(S(S(KS)K)(K(S(SKK)(SKK)))) − Jak widać po przykładzie operatora paradoksalnego, rachunek kombinatorów może być i jest prostszy, jest jednak o wiele mniej czytelny od rachunku lambda.