Wikipedia

Równoległość w geometrii hiperbolicznej

Koncepcja równoległości jest oparta na następującym twierdzeniu geometrii absolutnej[1]:

Zbiór półprostych o początku w punkcie można podzielić na dwa podzbiory: zbiór półprostych przecinających daną prostą i zbiór półprostych nieprzecinających tej prostej. Półproste równoległe oddzielają te dwa zbiory od siebie i nie przecinają prostej
Dla każdego punktu i każdej prostej nieprzechodzącej przez punkt istnieją dokładnie dwa promienie na płaszczyźnie wychodzące z punktu nieprzecinające prostej i oddzielające wszystkie promienie wychodzące z punktu przecinające prostą od wszystkich pozostałych promieni, nieprzecinających prostej [a][2].

O tych dwóch wyżej wspomnianych promieniach mówi się, że są równoległe do prostej [3]. Półproste te nie przecinają prostej W sytuacji rysunku obok jeden z promieni jest równoległy do prostej w kierunku promienia [b], a drugi jest równoległy w kierunku promienia Wynika stąd, że równoległość promienia do prostej (jest w tej definicji pewna asymetria) można przenieść na równoległość promieni:

Promień jest równoległy do promienia jeśli jest równoległy do prostej wyznaczonej przez w kierunku lub jeśli jeden z tych promieni jest zawarty w drugim.

W definicji tej brakuje dwóch cech równoległości, które są bardzo ważne: symetrii i przechodniości. Cechy te można udowodnić metodami geometrii absolutnej:

Jeśli promień jest równoległy do promienia to promień jest równoległy do promienia [4][5].
Jeśli promień jest równoległy do promienia a promień jest równoległy do promienia to promień jest równoległy do promienia [6][7].

Drugie z tych twierdzeń można udowodnić metodami geometrii uporządkowania[c]. Zatem równoległość promieni jest relacją równoważności.

Własność równoległości można też wypowiedzieć dla dwóch prostych. Wynika ona z następującego twierdzenia Gaussa:

Równoległość promienia i prostej zachowuje się, gdy zmienimy położenie początku promienia przez odjęcie lub dodanie jakiegokolwiek odcinka[8][9].

Chodzi tu o odjęcie lub dodanie do promienia odcinka leżącego na prostej wyznaczonej przez promień o jednym z końców w początku promienia i obu końcach leżących po tej samej stronie prostej. Wynika stąd następująca definicja:

Dwie proste są równoległe jeśli jedna z nich zawiera promień równoległy do drugiej.

Różne wersje hiperbolicznego aksjomatu równoległości

edytuj
 
Równoległe do prostej   w modelu Poincarégo geometrii hiperbolicznej (prosta – półokrąg prostopadły do absolutu)
 
Równoległe do prostej   w modelu Poincarégo geometrii hiperbolicznej (prosta – prostopadła do absolutu)
  1. Dla pewnego punktu   i pewnej prostej   nieprzechodzącej przez   istnieją co najmniej dwie proste równoległe do   przechodzące przez  [10].
  2. Dla każdego punktu   i każdej prostej   nieprzechodzącej przez   istnieją co najmniej dwie proste równoległe do   przechodzące przez  
  3. Istnieją dwa takie promienie równoległe, dla których suma kątów między nimi i odcinkiem łączącym ich początki jest mniejsza od 180°.
  4. Dla każdych dwóch promieni równoległych, suma kątów między nimi i odcinkiem łączącym ich początki jest mniejsza od 180°[11].

Twierdzenia równoważne hiperbolicznemu aksjomatowi równoległości

edytuj
  1. Istnieje trójkąt, którego suma kątów jest mniejsza od 180°[12].
  2. Suma kątów każdego trójkąta jest mniejsza od 180°[13][14].
  3. Jeśli dwa’trójkąty są podobne, to są one przystające[13][15].
  4. Istnieje trójkąt, na którym nie można opisać okręgu[15][16].
  5. Nie w każdym trójkącie wysokości przecinają się w jednym punkcie[15].
  6. Punkty jednej z dwóch prostych równoległych nie są w stałej odległości od drugiej z nich. Ekwidystanta jest krzywą niebędącą prostą[15].
  7. Żadne trzy punkty ekwidystanty nie leżą na jednej prostej[17].
  8. Odległość punktów jednej z dwóch prostych równoległych nie są w ograniczonej odległości od drugiej z nich[18].
  9. Prostopadła i pochyła do danej prostej nie zawsze się przecinają[15].
  10. Nie przez każdy punkt wnętrza kąta można poprowadzić prostą przecinającą oba ramiona kąta[15].
  11. Suma kątów trójkąta nie jest stała[19].
  12. Dwa trójkąty są przystające, jeśli ich odpowiednie kąty są równe[20].

Z przechodniości relacji równoległości prostych, tzn. z warunku, że jeśli dwie proste są równoległe do trzeciej, to są równoległe, wynika postulat Euklidesa[d].

Własności prostych i promieni równoległych

edytuj
 
Dowód twierdzenia Janosa Bolyai.
  • Twierdzenie J. Bolyai’a[e]: Jeśli dwa promienie równoległe uzna się za przecinające się w nieskończoności, to kąt między nimi można uznać za równy zero.
Niech punktem przecięcia w nieskończoności promieni równoległych będzie punkt   Niech   będzie takim ciągiem punktów, że   Zatem   jest równoramienny. Wtedy z twierdzenia o kącie zewnętrznym trójkąta kąt   jest mniejszy od połowy kąta   Jeśli   to   czyli   a   Dlatego można przyjąć, że  [21].
  • Odległości punktów jednej z prostych równoległych od drugiej maleją do zera w kierunku równoległości i nieograniczenie rosną w kierunku przeciwnym[f][22].
  • Równoległość promieni jest relacją zwrotną, symetryczną i przechodnią na zbiorze wszystkich promieni geometrii hiperbolicznej. Jest to zatem relacja równoważności.

Zobacz też

edytuj

Uwagi

edytuj
  1. ↑ W geometrii absolutnej dowodzi się, że suma kątów trójkąta jest nie większa od 180°. Wynika stąd, że jeśli suma kątów między odcinkiem   a promieniami poprowadzonymi z jego końców jest równa 180° (na rysunku obok promienie   i  ), to promień   nie może przeciąć prostej   Zatem zbiór promieni nieprzecinających prostej   jest niepusty.
  2. ↑ Promienie mają ten sam kierunek, jeśli leżą w tej samej półpłaszczyźnie wyznaczonej przez prostą przechodzącą przez ich początki.
  3. ↑ Geometria uporządkowania jest częścią geometrii absolutnej. Coxeter H.S.M., op. cit., s. 193–208.
  4. ↑ Dowód. Załóżmy, że ℓ, p, q są liniami prostymi, ℓ∥p, p∥q i ℓ∦q. Wówczas ℓ i q mają punkt wspólny A, a więc istnieją dwie różne proste równoległe do p przechodzące przez A, co znaczy, że płaszczyzna jest hiperboliczna.
  5. ↑ Janos Bolyai. La science absolue de l’espace. „Mémoires de la Société des Sciences de Bordeaux”. 5, s. 207–248, 1867. ; Coxeter, op. cit., s. 289; sformułowanie oryginalne dotyczy prostych równoległych.
  6. ↑ Zapewne z powodu obu powyższych własności J. Bolyai w swoim Appendixie nazywał proste równoległe asymptotami.

Przypisy

edytuj
  1. ↑ Coxeter H.S.M.: Wstęp do geometrii dawnej i nowej. Warszawa: PWN, 1967, s. 206–207.
  2. ↑ Forder H.G.: The Foundations of Euclidean Geometry. New York: 1958, s. 300.
  3. ↑ Coxeter, op. cit., s. 207.
  4. ↑ Coxeter H.S.M., op. cit., s. 287.
  5. ↑ Sommerville D.M.Y.: The Elements of Non-Euclidean Geometry. London: 1929, s. 32.
  6. ↑ Coxeter H.S.M., op. cit., s. 288.
  7. ↑ Gauss C.F.: Werke. T. 8. Göttingen: 1900, s. 205–206.
  8. ↑ Coxeter H.S.M., op. cit., s. 207–208.
  9. ↑ Gauss C.F., op. cit., s. 203.
  10. ↑ Coxeter H.S.M., op. cit., s. 310.
  11. ↑ Janos Bolyai: Appendix. 1832.
  12. ↑ Иовлев Н.Н.: Введение в элементарную геометрию и тригонометрию Лобачевского. Москва-Ленинград: 1930, s. 13–17.
  13. ↑ a b Иовлев Н.Н., op. cit., s. 13–17.
  14. ↑ Kostin W.: Podstawy geometrii. Warszawa: 1961, s. 219.
  15. ↑ a b c d e f Kostin, op. cit., s. 219.
  16. ↑ Иовлев Н.Н., op. cit., s. 20.
  17. ↑ Широков П.А.: Краткий очерк основ геометрии Лобачевского. Wyd. 2. Москва: Наука, 1983, s. 34–35.
  18. ↑ Иовлев Н.Н., op. cit., s. 21.
  19. ↑ Kostin, op. cit., s. 220–221.
  20. ↑ Kostin, op. cit., s. 221–222.
  21. ↑ Inny dowód w Coxeter, op. cit., s. 289.
  22. ↑ Широков, op. cit., s. 29.

Bibliografia

edytuj
  • Coxeter H.S.M.: Wstęp do geometrii dawnej i nowej. Warszawa: PWN, 1967.
  • Forder H.G.: The Foundations of Euclidean Geometry. New York: 1958.
  • Sommerville D.M.Y.: The Elements of Non-Euclidean Geometry. London: 1929.
  • Gauss C.F.: Werke. T. 8. Göttingen: 1900.
  • Иовлев Н.Н.: Введение в элементарную геометрию и тригонометрию Лобачевского. Москва-Ленинград: 1930. (ros.).
  • Kostin W.: Podstawy geometrii. Warszawa: 1961.
  • Широков П.А.: Краткий очерк основ геометрии Лобачевского. Wyd. 2. Москва: Наука, 1983.
  • Janos Bolyai. La science absolue de l’espace. „Mémoires de la Société des Sciences de Bordeaux”. 5, s. 207–248, 1867. 
  • Janos Bolyai: Appendix. 1832.
Źródło: „https://pl.wiki.x.io/w/index.php?title=Równoległość_w_geometrii_hiperbolicznej&oldid=73151816”