Równanie trygonometryczne

Równanie trygonometryczne – równanie, w którym niewiadoma występuje w wyrażeniu będącym argumentem funkcji trygonometrycznej.

Elementarnym równaniem trygonometrycznym nazywamy równanie, w którym po lewej stronie znaku równości występuje pojedyncza funkcja trygonometryczna, a po prawej stronie wyraz wolny.

Elementarne równania trygonometryczne to:

$\sin \ x=a,$

$\cos \ x=a,$

$\operatorname {tg} \ x=a,$

$\operatorname {ctg} \ x=a,$

gdzie:

$a$ – ustalona liczba rzeczywista.

Rozwiązywanie równań trygonometrycznych

Rozwiązania elementarnych równań trygonometrycznych:

1. $\sin \ x=a$

• dla $|a|>1$ równanie nie ma rozwiązań,
• dla $|a|\leqslant 1,$

$x=x_{0}+2k{\pi }\vee x={\pi }-x_{0}+2k{\pi },$

gdzie:

$x_{0}$ – rozwiązanie należące do przedziału $\left[-{\tfrac {\pi }{2}};{\tfrac {\pi }{2}}\right],$

$k\in C.$

2. $\cos \ x=a$

• dla $|a|>1$ równanie nie ma rozwiązań,
• dla $|a|\leqslant 1,$

$x=x_{0}+2k{\pi }\vee x=-x_{0}+2k{\pi },$

gdzie:

$x_{0}$ – rozwiązanie należące do przedziału $[0;{\pi }],$

$k\in C.$

3. $\operatorname {tg} \ x=a$

• dla $a\in R$

$x=x_{0}+k{\pi },$

gdzie:

$x_{0}$ – rozwiązanie należące do przedziału $\left(-{\tfrac {\pi }{2}};{\tfrac {\pi }{2}}\right),$

$k\in C.$

4. $\operatorname {ctg} \ x=a$

• dla $a\in R$

$x=x_{0}+k{\pi },$

gdzie:

$x_{0}$ – rozwiązanie należące do przedziału $(0;{\pi }),$

$k\in C.$

W przypadku bardziej złożonego równania trygonometrycznego należy ujednolicić wszystkie funkcje trygonometryczne i ich argumenty, a następnie sprowadzić równanie do postaci elementarnej.

Bibliografia

• Encyklopedia matematyka, A. Nawrot (red.), Sabak, Kraków 2009.

Linki zewnętrzne

Nagrania dla Khan Academy na YouTube [dostęp 2024-08-04]:

• Szymon Charzyński, Układ równań trygonometrycznych, 10 lutego 2014.
• Krzysztof Kwiecień, Rozwiązywanie równań trygonometrycznych postaci sin(x)=d, 4 listopada 2017.
• Piotr Stachura, Równanie trygonometryczne z cosinusem – rozwiązania w przedziale, 10 lutego 2024.
• Piotr Stachura, Równanie trygonometryczne z sinusem, 7 marca 2024.
• Piotr Stachura, Równanie trygonometryczne z cosinusem, 27 marca 2024.