Równanie Sylvestera

Równanie Sylvestera – często spotykane w teorii sterowania równanie macierzowe mające postać:

$AX+XB=C,$

gdzie $A,B,X,C$ to macierze o wymiarach $n\times n.$

Istnienie i jednoznaczność rozwiązania

Korzystając z notacji iloczynu Kroneckera i operatora wektoryzacji $\operatorname {vec}$ powyższe równanie może być zapisane w postaci

$(I_{n}\otimes A+B^{T}\otimes I_{n})\operatorname {vec} X=\operatorname {vec} C,$

gdzie $I_{n}$ jest macierzą jednostkową o rozmiarach $n\times n.$

W takiej postaci równanie Sylvestera może być interpretowane jako układ liniowy o wymiarze $n^{2}\times n^{2}.$ (W przypadku poszukiwania rozwiązania numerycznego zapis równania w takiej formie nie jest zalecany, ponieważ rozwiązanie równania w wersji układu liniowego jest niewydajne obliczeniowo i źle uwarunkowane).

Jeśli $A=ULU^{-1}$ i $B^{T}=VMV^{-1}$ są kanonicznymi formami Jordana macierzy $A$ i $B^{T},$ a $\lambda _{i}$ i $\mu _{j}$ są ich wartościami własnymi, można zapisać:

$I_{n}\otimes A+B^{T}\otimes I_{n}=(V\otimes U)(I_{n}\otimes L+M\otimes I_{n})(V\otimes U)^{-1}.$

Ponieważ $(I_{n}\otimes L+M\otimes I_{n})$ jest górną macierzą trójkątną z elementami na przekątnej $\lambda _{i}+\mu _{j},$ macierz po lewej stronie jest osobliwa wtedy i tylko wtedy, gdy istnieje $i$ i $j,$ takie że $\lambda _{i}=-\mu _{j}.$

W ten sposób dowiedzione zostało, że równanie Sylvestera ma jednoznaczne rozwiązanie, wtedy i tylko wtedy macierze $A$ i $-B$ nie mają wspólnych wartości własnych.

Rozwiązanie numeryczne

Klasyczny algorytm rozwiązania numerycznego równania Sylvestera jest algorytm Bartelsa-Stewarta, na który składa się przekształcenie macierzy $A$ i $B$ do postaci Schura (zob. rozkład Schura) za pomocą algorytmu QR, a następnie rozwiązanie układu trójkątnego poprzez podstawienie w tył dla macierzy trójkątnej. Algorytm ten, którego złożoność obliczeniowa wynosi $\mathrm {O} (n^{3})$ operacji arytmetycznych, wykorzystywany jest w pakietach oprogramowania LAPACK, Matlab i GNU Octave (w funkcji lyap).

Zobacz też

• algebraiczne równanie Riccatiego
• równanie Lapunowa