Przestrzeń rzutowa

Przestrzeń rzutowa – modyfikacja przestrzeni geometrycznej poprzez dołączenie do zbioru punktów przestrzeni wszystkich kierunków tej przestrzeni. W tak powiększonej przestrzeni każde dwie różne proste rzutowe leżące na jednej płaszczyźnie rzutowej posiadają punkt wspólny właściwy lub niewłaściwy zwany punktem w nieskończoności.

W szerszym ujęciu: jest to przestrzeń euklidesowa Eⁿ, do której dołączono wszystkie kierunki tej przestrzeni, oznaczana symbolem Pⁿ. Przestrzeń P¹ jest homeomorficzna z okręgiem, przestrzeń P² jest homeomorficzna ze wstęgą Möbiusa, w której brzeg wklejono koło (dysk), i tworzy płaszczyznę rzutową rzeczywistą.

Definicja formalna

Niech $K$ będzie ciałem oraz $K^{n}$ niech będzie iloczynem kartezjańskim $n$ kopii tego ciała, $n\geqslant 1.$

Niech $R$ będzie relacją 2-argumentową w zbiorze $K^{n}\backslash \{(0,0,\dots ,0)\}$ zdefiniowaną następująco:

$(x_{1},x_{2},\dots ,x_{n})R(y_{1},y_{2},\dots ,y_{n})$ wtedy i tylko wtedy, gdy dla pewnego $\alpha \in K,\ \alpha \neq 0$ zachodzi $(x_{1},x_{2},\dots ,x_{n})=(\alpha y_{1},\alpha y_{2},\dots ,\alpha y_{n})$

Relacja $R$ jest równoważnością.

Zbiór klas abstrakcji relacji $R,$ czyli zbiór $K^{n}\backslash \{(0,0,\dots ,0)\}/_{R}$ nazywa się przestrzenią rzutową wymiaru $n-1$ i jest oznaczany P^n-1.

Zgodnie z definicją, P⁰ jest zbiorem jednoelementowym, czyli punktem.

Bibliografia

• Encyklopedia dla wszystkich. Warszawa: WNT, 2000, s. 135. ISBN 83-204-2334-1.