Proporcja – równość dwóch stosunków postaci
a
b
=
c
d
{\displaystyle {\frac {a}{b}}={\frac {c}{d}}}
lub (inny zapis)
a
:
b
=
c
:
d
.
{\displaystyle a\ :\ b=c\ :\ d.}
W zapisie tym a i d nazywamy wyrazami skrajnymi , b i c – środkowymi .
Podstawowa własność proporcji mówi, że iloczyn wyrazów skrajnych jest równy iloczynowi wyrazów środkowych:
a
d
=
b
c
.
{\displaystyle ad=bc.}
Jeśli dane są trzy wyrazy w proporcji, czwarty można wyliczyć posługując się wzorami:
a
=
b
c
d
,
b
=
a
d
c
,
c
=
a
d
b
,
d
=
b
c
a
.
{\displaystyle a={\frac {bc}{d}},\qquad b={\frac {ad}{c}},\qquad c={\frac {ad}{b}},\qquad d={\frac {bc}{a}}.}
Wzory te znane są jako reguła trzech . W Europie weszły do użytku w XV-XVII wieku w praktyce kupieckiej.
Z równania proporcji wynikają także inne proporcje:
a
c
=
b
d
,
{\displaystyle {\tfrac {a}{c}}={\tfrac {b}{d}},\quad {}}
d
b
=
c
a
,
{\displaystyle {\tfrac {d}{b}}={\tfrac {c}{a}},\quad {}}
a
+
b
b
=
c
+
d
d
,
{\displaystyle {\tfrac {a+b}{b}}={\tfrac {c+d}{d}},\quad {}}
a
−
b
b
=
c
−
d
d
,
{\displaystyle {\tfrac {a-b}{b}}={\tfrac {c-d}{d}},\quad {}}
a
+
c
b
+
d
=
a
b
,
{\displaystyle {\tfrac {a+c}{b+d}}={\tfrac {a}{b}},\quad {}}
a
−
c
b
−
d
=
a
b
,
{\displaystyle {\tfrac {a-c}{b-d}}={\tfrac {a}{b}},\quad {}}
a
+
c
b
+
d
=
c
d
,
{\displaystyle {\tfrac {a+c}{b+d}}={\tfrac {c}{d}},\quad {}}
a
−
c
b
−
d
=
c
d
,
{\displaystyle {\tfrac {a-c}{b-d}}={\tfrac {c}{d}},\quad {}}
a
+
b
a
−
b
=
c
+
d
c
−
d
,
{\displaystyle {\tfrac {a+b}{a-b}}={\tfrac {c+d}{c-d}},\quad {}}
a
−
b
a
+
b
=
c
−
d
c
+
d
,
{\displaystyle {\tfrac {a-b}{a+b}}={\tfrac {c-d}{c+d}},\quad {}}
Proporcja postaci
a
b
=
b
a
−
b
{\displaystyle {\frac {a}{b}}={\frac {b}{a-b}}}
jest nazywana proporcją harmoniczną . Rozkład danej liczby a na dwa składniki: b oraz a – b zgodnie z regułą proporcji harmonicznej nazywa się złotym podziałem lub podziałem harmonicznym .
Zapis postaci
a
1
:
a
2
:
…
:
a
n
=
b
1
:
b
2
:
…
:
b
n
{\displaystyle a_{1}\ :\ a_{2}\ :\ \dots \ :\ a_{n}=b_{1}\ :\ b_{2}\ :\ \dots \ :\ b_{n}}
oznacza układ równań :
a
1
b
1
=
a
2
b
2
=
…
=
a
n
b
n
{\displaystyle {\frac {a_{1}}{b_{1}}}={\frac {a_{2}}{b_{2}}}=\ldots ={\frac {a_{n}}{b_{n}}}}
lub równoważnie:
{
a
1
a
2
=
b
1
b
2
a
2
a
3
=
b
2
b
3
…
a
n
−
1
a
n
=
b
n
−
1
b
n
.
{\displaystyle {\begin{cases}{\frac {a_{1}}{a_{2}}}={\frac {b_{1}}{b_{2}}}\\{\frac {a_{2}}{a_{3}}}={\frac {b_{2}}{b_{3}}}\\\dots \\{\frac {a_{n-1}}{a_{n}}}={\frac {b_{n-1}}{b_{n}}}\end{cases}}.}
