Proper forsing

Proper forsing (własność proper pojęć forsingu) – jedna z podstawowych własności pojęć forsingu wprowadzona przez izraelskiego matematyka Saharona Szelacha w drugiej połowie lat 70. XX wieku. Nazwa jest spolszczeniem angielskiego wyrażenia proper forcing.

W 1978 w czasie wykładów w Berkeley, Szelach przedstawił po raz pierwszy tę własność i jej zastosowania, w druku te idee ukazały się w 1980^[1]. W 1982, Szelach opublikował monografię^[2] przedstawiającą pierwsze systematyczne badania forsingów proper, związanych z nimi aksjomatów forsingowych i twierdzeń zachowawczych^[3]^[4]^[5].

Definicje

W literaturze tematu funkcjonują trzy równoważne definicje pojęcia forsingów proper. Definicja teoriogrowa była opublikowana po raz pierwszy w rozprawie doktorskiej Charlsa Greya, pozostałe dwie są oryginalnymi definicjami Szelacha.

Niech $\mathbb {P} =(\mathbb {P} ,\leqslant )$ będzie pojęciem forsingu.

Definicja kombinatoryczna

Uogólniając pojęcie zbiorów stacjonarnych wprowadzamy następujące definicje. Poniżej, dla liczby kardynalnej $\lambda$ , rodzina wszystkich nieskończonych przeliczalnych podzbiorów $\lambda$ jest oznaczana przez $[\lambda ]^{\omega }.$

(i) Zbiór

X\subseteq [\lambda ]^{\omega }

jest nieograniczony jeśli dla każdego

y\in [\lambda ]^{\omega }

możemy znaleźć

x\in X

taki że

y\subseteq x.

(ii) Zbiór

X\subseteq [\lambda ]^{\omega }

jest domknięty jeśli dla każdego ciągu

x_{0}\subseteq x_{1}\subseteq x_{2}\subseteq \ldots \subseteq x_{n}\subseteq \ldots

(dla

n<\omega

) elementów zbioru

X

spełniony jest warunek

\bigcup \limits _{n<\omega }x_{n}\in X.

(iii) Zbiór

S\subseteq [\lambda ]^{\omega }

jest stacjonarny jeśli ma on niepusty przekrój z każdym domkniętym i nieograniczonym zbiorem

X\subseteq [\lambda ]^{\omega }

(tzn.

S\cap X\neq \varnothing

).

Pojęcie forsingu $\mathbb {P}$ jest proper jeśli zachowuje ono stacjonarność podzbiorów $[\lambda ]^{\omega }$ dla każdej nieprzeliczalnej liczby kardynalnej $\lambda .$ Innymi słowy, $\mathbb {P}$ jest proper jeśli dla każdej nieprzeliczalnej liczby kardynalnej $\lambda$ i każdego stacjonarnego zbioru $S\subseteq [\lambda ]^{\omega }$ mamy, że $\Vdash _{\mathbb {P} }$ „ $S$ jest stacjonarny”.

Definicja teoriogrowa

Dla $p\in \mathbb {P}$ rozważmy następującą grę nieskończoną $\Game ^{\mathrm {proper} }(p,\mathbb {P} )$ długości $\omega .$ W czasie partii tej gry, dwóch graczy (Pierwszy i Druga) konstruuje ciąg $\langle {\dot {\alpha }}_{n},\beta _{n}:n<\omega \rangle$ w sposób następujący. Na kroku $n,$

najpierw Pierwszy wybiera

\mathbb {P}

-nazwę (term boole’owski)

{\dot {\alpha }}_{n}

taką że

\Vdash _{\mathbb {P} }

„

{\dot {\alpha }}_{n}

jest liczbą porządkową”.

Potem Druga odpowiada wybierając liczbę porządkową

\beta _{n}.

Po skończonej partii orzekamy że Druga wygrała wtedy i tylko wtedy, gdy istnieje warunek

q\leqslant p

taki, że

q\Vdash _{\mathbb {P} }(\forall n<\omega )(\exists k<\omega )({\dot {\alpha }}_{n}=\beta _{k}).

Pojęcie forsingu $\mathbb {P}$ jest proper jeśli dla każdego warunku $p\in \mathbb {P} ,$ Druga ma strategię zwycięską w grze $\Game ^{\mathrm {proper} }(p,\mathbb {P} ).$

Definicja oparta na warunkach generycznych

Powiemy, że zbiór $G\subseteq \mathbb {P}$ jest filtrem w $\mathbb {P}$ jeśli następujące warunki są spełnione:

(i)

G\neq \emptyset ,

(ii) jeśli

p,q\in \mathbb {P} ,

q\leqslant p

oraz

q\in G,

to również

p\in G,

(iii) jeśli

p,q\in G,

to można znaleźć

r\in G

taki że

r\leqslant p

oraz

r\leqslant q.

Zbiór $I\subseteq \mathbb {P}$ jest gęstym podzbiorem $\mathbb {P}$ jeśli $(\forall p\in \mathbb {P} )(\exists q\in I)(q\leqslant p).$
Niech $\chi$ będzie regularną liczbą kardynalną a ${\mathcal {H}}(\chi )$ będzie rodziną wszystkich zbiorów dziedzicznie mocy mniejszej niż $\chi .$ Przypuśćmy, że $N$ jest przeliczalnym elementarnym podmodelem $({\mathcal {H}}(\chi ),\in )$ takim, że $\mathbb {P} \in N.$ Powiemy, że warunek $q\in \mathbb {P}$ jest warunkiem $(N,\mathbb {P} )$ -generycznym jeśli dla każdego maksymalnego antyłańcucha $A\subseteq \mathbb {P}$ który należy do modelu $N$ mamy

dla każdego

r\in A,

jeśli

r,q

są niesprzeczne, to

r\in N.

(Przypomnijmy, że warunki

r,q

są niesprzeczne jeśli istnieje warunek

s\in \mathbb {P}

silniejszy niż oba te warunki).

Pojęcie forsingu $\mathbb {P}$ jest proper, jeśli dla każdej dostatecznie dużej regularnej liczby kardynalnej $\chi$ istnieje $x\in {\mathcal {H}}(\chi )$ taki, że:

jeśli

N

jest przeliczalnym elementarnym podmodelem

({\mathcal {H}}(\chi ),\in ),

\mathbb {P} ,x\in N

oraz

p\in \mathbb {P} \cap N,

to istnieje warunek

q\leqslant p

który jest

(N,\mathbb {P} )

-generyczny.

Przykłady

Wszystkie przeliczalnie domknięte pojęcia forsingu, jak też i wszystkie ccc pojęcia forsingu są proper.
Pojęcia forsingu Lavera, Mathiasa i Sacksa (zdefiniowane w artykule o pojęciach forsingu) są proper.

Przykładowe własności

Przypuśćmy, że pojęcie forsingu $\mathbb {P}$ jest proper. Wówczas

(a) Jeśli

p\in \mathbb {P}

oraz

{\dot {\tau }}

jest

\mathbb {P}

-nazwą taką, że

p\Vdash _{\mathbb {P} }{\dot {\tau }}:\omega \longrightarrow \mathbf {V} ,

to istnieją warunek

q\leqslant p

oraz ciąg

\langle A_{n}:n<\omega \rangle

zbiorów przeliczalnych takie, że

q\Vdash _{\mathbb {P} }(\forall n<\omega )({\dot {\tau }}(n)\in A_{n}).

(b)

\Vdash _{\mathbb {P} }

„

\omega _{1}^{\mathbf {V} }

jest liczbą kardynalną”.

Przypuśćmy, że ${\overline {\mathbb {Q} }}=\langle \mathbb {P} _{\alpha },{\dot {\mathbb {Q} }}_{\alpha }:\alpha <\gamma \rangle$ jest iteracją z nośnikami przeliczalnymi (CS iteration) taką, że dla każdego $\alpha <\gamma$ mamy

\Vdash _{\mathbb {P} _{\alpha }}

„

{\dot {\mathbb {Q} }}_{\alpha }

jest proper”.

Wówczas

\mathbb {P} _{\gamma }=\lim({\overline {\mathbb {Q} }})

jest proper.

Załóżmy CH. Przypuśćmy, że ${\overline {\mathbb {Q} }}=\langle \mathbb {P} _{\alpha },{\dot {\mathbb {Q} }}_{\alpha }:\alpha <\omega _{2}\rangle$ jest iteracją z nośnikami przeliczalnymi taką, że dla każdego $\alpha <\omega _{2}$ mamy

\Vdash _{\mathbb {P} _{\alpha }}

„

{\dot {\mathbb {Q} }}_{\alpha }

jest proper mocy co najwyżej

\aleph _{1}

”.

Wówczas

\mathbb {P} _{\omega _{2}}

spełnia

\aleph _{2}

-cc (tzn. każdy antyłańcuch w

\mathbb {P} _{\omega _{2}}

jest mocy co najwyżej

\aleph _{1}

) oraz

\Vdash _{\mathbb {P} _{\alpha }}

„

2^{\aleph _{0}}=\aleph _{1}

” dla każdego

\alpha <\omega _{2}.

Twierdzenia zachowawcze

Pozycja własności proper w teorii forsingów iterowanych jest wynikiem szeregu twierdzeń zachowawczych związanych z tą własnością.

Postać ogólna

Ogólny schemat twierdzeń iteracyjnych ma następującą postać. Mamy dwie własności pojęć forsingu, powiedzmy $W_{1}$ i $W_{2}$ i własność $W_{1}$ implikuje własność $W_{2}.$ Twierdzenia iteracyjne związane z tymi własnościami mogą być jednej z następujących postaci:

(a) Jeśli

{\overline {\mathbb {Q} }}=\langle \mathbb {P} _{\alpha },{\dot {\mathbb {Q} }}_{\alpha }:\alpha <\gamma \rangle

jest iteracją z nośnikami przeliczalnymi taką, że dla każdego

\alpha <\gamma

mamy

\Vdash _{\mathbb {P} _{\alpha }}

”

{\dot {\mathbb {Q} }}_{\alpha }

jest proper i ma własność

W_{1}

”,

to

\mathbb {P} _{\gamma }=\lim({\overline {\mathbb {Q} }})

jest proper i ma własność

W_{2}.

(b) Jeśli

\gamma

jest liczbą graniczną oraz

{\overline {\mathbb {Q} }}=\langle \mathbb {P} _{\alpha },{\dot {\mathbb {Q} }}_{\alpha }:\alpha <\gamma \rangle

jest taką iteracją z nośnikami przeliczalnymi, że dla każdego

\alpha <\gamma

mamy

\Vdash _{\mathbb {P} _{\alpha }}

„

{\dot {\mathbb {Q} }}_{\alpha }

jest proper” oraz

\mathbb {P} _{\alpha }

ma własność

W_{1},

to

\mathbb {P} _{\gamma }=\lim({\overline {\mathbb {Q} }})

(jest proper i) ma własność

W_{2}.

Jeśli własności $W_{1},W_{2}$ są identyczne, to mówimy wówczas że mamy do czynienia z twierdzeniem zachowawczym.

Przykłady

Powiemy, że pojęcie forsingu $\mathbb {Q} =(\mathbb {Q} ,\leqslant )$ jest $^{\omega }\omega$ -ograniczające, jeśli

\Vdash _{\mathbb {Q} }{\big (}\forall \eta \in {}^{\omega }\omega {\big )}{\big (}\exists \nu \in {}^{\omega }\omega \cap \mathbf {V} {\big )}{\big (}\forall n\in \omega {\big )}{\big (}\eta (n)<\nu (n){\big )}.

Twierdzenie: Jeśli

{\overline {\mathbb {Q} }}=\langle \mathbb {P} _{\alpha },{\dot {\mathbb {Q} }}_{\alpha }:\alpha <\gamma \rangle

jest iteracją z nośnikami przeliczalnymi taką, że dla każdego

\alpha <\gamma

mamy

\Vdash _{\mathbb {P} _{\alpha }}

„

{\dot {\mathbb {Q} }}_{\alpha }

jest proper i

^{\omega }\omega

-ograniczające”,

to

\mathbb {P} _{\gamma }=\lim({\overline {\mathbb {Q} }})

jest proper i jest

^{\omega }\omega

-ograniczające.

Powiemy, że pojęcie forsingu $\mathbb {Q} =(\mathbb {Q} ,\leqslant )$ jest słabo $^{\omega }\omega$ -ograniczające, jeśli

\Vdash _{\mathbb {Q} }{\big (}\forall \eta \in {}^{\omega }\omega {\big )}{\big (}\exists \nu \in {}^{\omega }\omega \cap \mathbf {V} {\big )}{\big (}\{n\in \omega :\eta (n)<\nu (n)\}

jest nieskończony

{\big )}.

Twierdzenie: Jeśli

\gamma

jest liczbą graniczną oraz

{\overline {\mathbb {Q} }}=\langle \mathbb {P} _{\alpha },{\dot {\mathbb {Q} }}_{\alpha }:\alpha <\gamma \rangle

jest taką iteracją z nośnikami przeliczalnymi, że dla każdego

\alpha <\gamma

mamy

\Vdash _{\mathbb {P} _{\alpha }}

”

{\dot {\mathbb {Q} }}_{\alpha }

jest proper „oraz

\mathbb {P} _{\alpha }

jest słabo

^{\omega }\omega

-ograniczające,

to

\mathbb {P} _{\gamma }=\lim({\overline {\mathbb {Q} }})

jest proper i jest słabo

^{\omega }\omega

-ograniczające.

Dalsza lektura

Rozdziały 6 i 18 w monografii Szelacha^[3] są najbardziej wyczerpującym przeglądem twierdzeń zachowawczych, ale bardzo jasno przedstawione szczególne przypadki tych twierdzeń można znaleźć w artykule Goldsterna^[4] i książce Tomka Bartoszyńskiego i Haima Judaha^[6]. Warto przy tej okazji zauważyć, że w artykule Goldsterna zakłada się (ze względów technicznych), że rozważane pojęcia forsingu dodają nowe liczby rzeczywiste, a prezentacja w książce Bartoszyńskiego i Judaha zawiera pewną lukę w tym aspekcie. Wyjaśnienie problemu i przedstawienie jego rozwiązania można znaleźć w artykule Jakoba Kellnera i Martina Goldsterna^[7].

Aksjomat A

James E. Baumgartner^[8] wprowadził własność pojęć forsingu, która implikuje, że rozważany forsing jest proper, a której sprawdzenie w wielu przypadkach jest prostsze (czy też bardziej intuicyjne). Własność ta znana jest pod nazwą aksjomatu A lub aksjomatu Baumgartnera.

Aksjomat Baumgartnera

Powiemy, że pojęcie forsingu $\mathbb {P} =(\mathbb {P} ,\leqslant )$ spełnia aksjomat A, jeśli istnieje ciąg porządków częściowych $(\leqslant _{n})_{n<\omega }$ na $\mathbb {P}$ taki, że

(i) jeśli

q\leqslant _{0}p,

to

q\leqslant p,

(ii) jeśli

q\leqslant _{n+1}p,

to

q\leqslant _{n}p,

(iii) jeśli nieskończony ciąg warunków

\langle p_{n}\colon n<\omega \rangle

ma tę własność, że

p_{n+1}\leqslant _{n}p_{n}

(dla wszystkich

n<\omega

), to można znaleźć warunek

q\in \mathbb {P}

taki, że

(\forall n<\omega )(q\leqslant _{n}p_{n}),

(iv) dla każdego warunku

p\in \mathbb {P} ,

liczby

n<\omega

oraz maksymalnego antyłańcucha

A\subseteq \mathbb {P}

można wybrać warunek

q\in \mathbb {P}

taki, że

q\leqslant _{n}p

i zbiór

\{r\in A\colon r,q

są niesprzeczne

\}

jest przeliczalny.

Konsekwencje i przykłady

Jeśli pojęcie forsingu $\mathbb {P}$ spełnia aksjomat A, to jest ono proper.
Wszystkie przeliczalnie domknięte pojęcia forsingu, jak też i wszystkie ccc pojęcia forsingu spełniają aksjomat A. (W pierwszym przypadku kładziemy $\leqslant _{n}=\leqslant ,$ a w drugim $\leqslant _{n}$ jest równością.)
Forsing Silvera spełnia aksjomat A. Przypomnijmy, że pojęcie forsingu Silvera $\mathbb {S}$ jest zdefiniowane następująco. Elementami porządku (tzn. warunkami) są funkcje $f\colon \operatorname {dom} (f)\to \omega$ takie, że $\operatorname {dom} (f)\subseteq \omega$ oraz $\omega \setminus \operatorname {dom} (f)$ jest nieskończone; porządek jest odwrotną relacją wydłużania funkcji, tzn. $g\leqslant f$ wtedy i tylko wtedy, gdy ( $f,g\in \mathbb {S}$ oraz) $f\subseteq g.$

Dla liczby naturalnej

n\in \omega

określmy relację dwuczłonową

\leqslant _{n}

na

\mathbb {S}

w sposób następujący. Kładziemy

\leqslant _{0}=\leqslant

oraz dla

n>0{:}

g\leqslant _{n}f

wtedy i tylko wtedy, gdy (

f,g\in \mathbb {S}

oraz)

g\leqslant f

i jeśli

k\in \omega \setminus \operatorname {dom} (f)

i

\left|k\setminus \operatorname {dom} (f)\right|<n

to

k\notin \operatorname {dom} (g).

Łatwo można sprawdzić, że

\leqslant _{n}

są porządkami częściowymi na

\mathbb {S}

zaświadczającymi, że

\mathbb {S}

spełnia aksjomat A.

Ogólniej, pojęcia forsingu zbudowane zgodnie z metodą norm na możliwościach spełniają aksjomat A przy naturalnych warunkach^[9].

Zobacz też

Przypisy

↑ Szelach, Saharon: Independence results. „J. Symbolic Logic” 45 (1980), s. 563–573.
↑ Szelach, Saharon: Proper forcing. „Lecture Notes in Mathematics”, 940. Springer-Verlag, Berlin-New York, 1982. ISBN 3-540-11593-5.
↑ ^a ^b Szelach, Saharon: Proper and improper forcing. „Perspectives in Mathematical Logic”. Springer-Verlag, Berlin, 1998. ISBN 3-540-51700-6.
↑ ^a ^b Goldstern, Martin: Tools for your forcing construction. Set theory of the reals (Ramat Gan, 1991). „Israel Math. Conf. Proc.”, 6, Bar-Ilan Univ., Ramat Gan, 1993, s. 305–360.
↑ Abraham, Uri: Proper forcing, w: Handbook of Set Theory pod red. M. Foremana, A. Kanamoriego i M. Magidora, w druku. Dostępne w formacie dvi na stronie autora.
↑ Bartoszyński, Tomek; Judah, Haim. Set theory. On the structure of the real line, A K Peters, Ltd., Wellesley, MA, 1995. ISBN 1-56881-044-X.
↑ Goldstern, Martin; Kellner, Jakob: New reals: can live with them, can live without them. „Math. Log. Q.” 52 (2006), s. 115–124.
↑ Baumgartner, James E.: Iterated forcing, w: Surveys in set theory, pod red. A.R. D. Mathiasa. London Math. Soc. Lecture Notes Ser., 87, Cambridge Univ. Press, Cambridge, 1983, s. 1–59.
↑ Rosłanowski, Andrzej; Szelach, Saharon: Norms on possibilities. I. Forcing with trees and creatures. „Mem. Amer. Math. Soc.” 141 (1999), no. 671, ISBN 0-8218-1180-0.

[1] Szelach, Saharon: Independence results. „J. Symbolic Logic” 45 (1980), s. 563–573.

[2] Szelach, Saharon: Proper forcing. „Lecture Notes in Mathematics”, 940. Springer-Verlag, Berlin-New York, 1982. ISBN 3-540-11593-5.

[pif-3] Szelach, Saharon: Proper and improper forcing. „Perspectives in Mathematical Logic”. Springer-Verlag, Berlin, 1998. ISBN 3-540-51700-6.

[tools-4] Goldstern, Martin: Tools for your forcing construction. Set theory of the reals (Ramat Gan, 1991). „Israel Math. Conf. Proc.”, 6, Bar-Ilan Univ., Ramat Gan, 1993, s. 305–360.

[5] Abraham, Uri: Proper forcing, w: Handbook of Set Theory pod red. M. Foremana, A. Kanamoriego i M. Magidora, w druku. Dostępne w formacie dvi na stronie autora.

[6] Bartoszyński, Tomek; Judah, Haim. Set theory. On the structure of the real line, A K Peters, Ltd., Wellesley, MA, 1995. ISBN 1-56881-044-X.

[7] Goldstern, Martin; Kellner, Jakob: New reals: can live with them, can live without them. „Math. Log. Q.” 52 (2006), s. 115–124.

[8] Baumgartner, James E.: Iterated forcing, w: Surveys in set theory, pod red. A.R. D. Mathiasa. London Math. Soc. Lecture Notes Ser., 87, Cambridge Univ. Press, Cambridge, 1983, s. 1–59.

[9] Rosłanowski, Andrzej; Szelach, Saharon: Norms on possibilities. I. Forcing with trees and creatures. „Mem. Amer. Math. Soc.” 141 (1999), no. 671, ISBN 0-8218-1180-0.

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]