Problem Waringa

W roku 1770 (XVIII w.) Edward Waring wysunął hipotezę^[1], że każdą liczbę naturalną można przedstawić jako sumę czterech kwadratów (np. $7=2^{2}+1^{2}+1^{2}+1^{2}$ ). Ogólny zapis hipotezy:

Dla każdej liczby całkowitej $n>1,$ jest liczba $k=k(n),$ że każda liczba całkowita dodatnia $N$ może być zapisana jako:

x_{1}^{n}+x_{2}^{n}+\ldots +x_{k}^{n}=N

z nieujemną liczbą całkowitą $x_{1},\;x_{2},\;\dots ,\;x_{k}.$

Hipoteza ta została udowodniona w tym samym roku przez J.L. Lagrange’a i obecnie nazywana jest problemem Waringa.

Problem ów został następnie uogólniony na wyższe potęgi (np. 1909 – David Hilbert, 1920 – Hardy i Littlewood^[2]). W roku 1909 David Hilbert wykazał^[3], że dla każdej liczby naturalnej $k$ istnieje taka liczba $s,$ że każdą liczbę naturalną można zapisać za pomocą co najwyżej $s\;k$ -tych potęg liczb naturalnych. Niech dla każdego $k$ liczba $g(k)$ oznacza najmniejsze takie $s.$ Problem Waringa pyta właśnie o wartości funkcji $g(k)$ ^[4].

Kilka pierwszych wartości funkcji $g(k)$ to:

1, 4, 9, 19, 37, 73, 143, 279, 548, 1079, 2132, 4223, 8384, 16673, 33203, 66190, 132055...

Należy zauważyć, że liczba może mieć więcej niż jedną postać jako suma $k$ -tych potęg, np. $310=17^{2}+4^{2}+2^{2}+1^{2}=15^{2}+9^{2}+2^{2}+0^{2}.$

W roku 1939 Leonard Eugene Dickson wykazał, że 23 oraz 239 to jedyne liczby wymagające sumy dziewięciu sześcianów (oznacza to, że wszystkie pozostałe liczby wymagają co najwyżej ośmiu sześcianów).

Przypisy

↑ E. Waring, Meditationes algebraicae, Cambridge 1770.
↑ G.H. Hardy, J.E. Littlwood // Nachr. Acad. Wiss. Gettingen Math.-Phys. Kl., 1920. s. 33–54. IV: Math. Z., 1922, № 12, s. 161–188.
↑ D. Hilbert, Beweis für die Darstellbarkeit der ganzen Zahlen durch eine feste Anzahl n-ter Potenzen (Waringsches Problem) // „Mathematische Annalen”, 67, s. 281–300 (1909).
↑ ACTA ARITHMETICA [1].

Bibliografia

Dennis Weeks (Hg.): Meditationes algebraicae. An English translation of the work of Edward Waring. Providence: American Mathematical Society, 1991. (ISBN 0-8218-0169-4).
Leonard Eugene Dickson: All integers except 23 and 239 are sums of eight cubes. In: „Bulletin of the American Mathematical Society” 45 (1939), s. 588–591.

Linki zewnętrzne

Eric W.E.W. Weisstein Eric W.E.W., Waring's Problem, [w:] MathWorld, Wolfram Research [dostęp 2020-12-13] (ang.).

[1] E. Waring, Meditationes algebraicae, Cambridge 1770.

[2] G.H. Hardy, J.E. Littlwood // Nachr. Acad. Wiss. Gettingen Math.-Phys. Kl., 1920. s. 33–54. IV: Math. Z., 1922, № 12, s. 161–188.

[3] D. Hilbert, Beweis für die Darstellbarkeit der ganzen Zahlen durch eine feste Anzahl n-ter Potenzen (Waringsches Problem) // „Mathematische Annalen”, 67, s. 281–300 (1909).

[4] ACTA ARITHMETICA [1].

[1]

[2]

[3]

[4]