Prędkość orbitalna

Prędkość orbitalna – prędkość, z jaką porusza się ciało po orbicie.

Orbita kołowa

Na orbicie kołowej orbitujące ciało o masie niewielkiej w porównaniu z masą ciała centralnego porusza się po okręgu o środku w środku obieganego ciała. W ruchu tym siłą dośrodkową jest siła grawitacji, zatem:

${\frac {GMm}{r^{2}}}={\frac {mv^{2}}{r}}$

i dlatego

$v={\sqrt {\frac {GM}{r}}},$

gdzie:

$G$ – stała grawitacyjna,

$M$ – masa ciała okrążanego, np. planety,

$m$ – masa ciała krążącego, np. statku kosmicznego,

$r$ – promień orbity,

$v$ – prędkość orbitalna.

Inny sposób wyprowadzenia wzoru opisano poniżej:

Pewne ciało znajduje się na powierzchni pewnego ciała niebieskiego. Odległość od jego środka wynosi $R.$ Ciało to porusza się z pewną prędkością $v,$ w kierunku prostopadłym do prostej łączącej środki tych ciał. Po upływie niewielkiego czasu $dt,$ ciało przebywa niewielką drogę $ds,$ w wyniku czego wysokość ciała zmieni się o $dh$ od środka ciała niebieskiego, tak więc odległość od jego środka wynosi wówczas $R+dh.$ Punkty: początkowego położenia ciała, końcowego położenia ciała oraz środka ciała niebieskiego, są wierzchołkami trójkąta prostokątnego. Korzystając z twierdzenia Pitagorasa dla tych punktów:

$R^{2}+(ds)^{2}=(R+dh)^{2}.$

Przebywając drogę $ds,$ ciało spada o $dh.$ Zadanie polega więc na wyznaczeniu prędkości $v,$ z jaką ciało ma się poruszać, co sprowadza się do wyznaczenia czasu jej przebycia. Czas ten musi być równy czasowi spadania z wysokości tak, aby po jego upływie ciało nadal znajdowało się w takiej samej odległości od ciała niebieskiego, dzięki czemu jego tor ruchu będzie okręgiem. Wysokość od ciała niebieskiego $h,$ na której znajduje się ciało, z której upada ono na powierzchnię po upływie czasu $t,$ dla zaniedbywalnie małych wysokości, wyraża się wzorem:

$h={\frac {1}{2}}at^{2},$

gdzie $a$ jest przyspieszeniem grawitacyjnym występującym w miejscu gdzie znajduje się orbitujące ciało.

Wzór ten jest tym bardziej prawdziwy dla różniczek wysokości $dh$ i czasu $dt,$ gdyż różniczka wysokości dąży do 0, a więc $dh\to 0,$ jest więc zaniedbywalnie mała.

$dh={\frac {1}{2}}a(dt)^{2}.$

Podstawiając za $dh$ powyższy wzór do otrzymanej zależności wynikającej z twierdzenia Pitagorasa, otrzymujemy:

$R^{2}+(ds)^{2}=\left(R+{\frac {1}{2}}a(dt)^{2}\right)^{2}.$

Od obu stron równania odejmujemy $R^{2}$

$(ds)^{2}=\left(R+{\frac {1}{2}}a(dt)^{2}\right)^{2}-R^{2}.$

W ruchu jednostajnym prędkość jest pochodną przebytej drogi po czasie:

$v={\frac {ds}{dt}}.$

Obie strony równania podnosimy do kwadratu.

$v^{2}=\left({\frac {ds}{dt}}\right)^{2}={\frac {(ds)^{2}}{(dt)^{2}}}.$

Podstawiając za $(ds)^{2}$ powyższy wzór, otrzymujemy:

${\begin{aligned}v^{2}&={\frac {\left(R+{\frac {1}{2}}a(dt)^{2}\right)^{2}-R^{2}}{(dt)^{2}}}\\&={\frac {R^{2}+{\frac {1}{4}}a^{2}(dt)^{4}+aR(dt)^{2}-R^{2}}{(dt)^{2}}}\\&={\frac {{\frac {1}{4}}a^{2}(dt)^{4}+aR(dt)^{2}}{(dt)^{2}}}\\&={\frac {1}{4}}a^{2}(dt)^{2}+aR.\end{aligned}}$

Ponieważ $dt\to 0,$ więc ${\frac {1}{4}}a^{2}(dt)^{2}\to 0.$ Ostatecznie otrzymujemy:

$v^{2}=aR.$

Pierwiastkujemy obie strony równania:

$v={\sqrt {aR}}.$

Wartość przyspieszenia grawitacyjnego wyznaczyć można z zależności:

$a={\frac {GM}{R^{2}}},$

gdzie:

$G$ – stała grawitacji,

$M$ – masa ciała niebieskiego.

Podstawiając za $a$ powyższą zależność, otrzymujemy ostatecznie wzór na pierwszą prędkość kosmiczną:

$v={\sqrt {{\frac {GM}{R^{2}}}\cdot R}},$

$v_{I}={\sqrt {\frac {GM}{R}}}.$

Prędkość orbitalną na orbicie kołowej można też wyznaczyć, znając okres obiegu i promień orbity

$v={\frac {2\pi r}{T}},$

gdzie:

$T$ – okres orbitalny.

Orbita eliptyczna

W przypadku orbity eliptycznej prędkość orbitalna ciała zmienia się wzdłuż orbity i jest największa w perycentrum, a najmniejsza w apocentrum orbity. Wartość tej prędkości w dowolnym punkcie orbity można wyznaczyć z drugiego prawa Keplera lub z zasady zachowania energii.