Wikipedia

Poziomy rozumienia pojęć matematycznych

Koncepcja dydaktyczna stworzona przez Zygfryda Dyrszlaga w 1972 roku

Poziomy rozumienia pojęć matematycznych – koncepcja stworzona przez Zygfryda Dyrszlaga w 1972 roku, umożliwiająca kontrolę tego, w jakim stopniu rozumie się dane pojęcie matematyczne[1][2][3][4]. Zdaniem Anny Zofii Krygowskiej „rozumienie przez uczniów pojęć matematycznych (...) to jeden z najważniejszych celów nauczania matematyki”[5].

Dyrszlag przedstawił cztery poziomy rozumienia pojęcia matematycznego, od najbardziej elementarnych po najwyższy poziom rozumienia:

  1. poziom rozumienia definicyjnego,
  2. poziom lokalnej komplikacji,
  3. poziom uogólnienia,
  4. poziom rozumienia strukturalnego[2][3][4][6].

Dyrszlag przedstawił również listę pytań i poleceń, jakie można zadawać w celu kontroli poziomu rozumienia pojęć matematycznych, jak np.: co jeśli...?, rozwiąż na kilka sposobów..., rozwiąż szybszym sposobem..., co jest szczególnym przypadkiem...?, co jest uogólnieniem...?, co jest nie tak z...?, czy to zawsze/czasem/nigdy...?, czy ... jest przykładem...?, opisz/opowiedz/narysuj/znajdź/rozwiąż/pokaż/zademonstruj/wykaż..., co można/trzeba dodać do tej definicji / usunąć z tej definicji?[7].

Dydaktycy matematyki uważają, że nauczyciele matematyki powinni znać poziomy rozumienia pojęć matematycznych autorstwa Zygfryda Dyrszlaga, ponieważ oprócz możliwości kontroli rozumienia pojęć matematycznych u uczniów, zrozumienie natury tych czterech poziomów może stanowić źródło wielu pomysłów w pracy nad utrwalaniem trudnego materiału[6].

Poziomy rozumienia pojęć matematycznych

edytuj

Poziom rozumienia definicyjnego

edytuj

Poziom definicyjnego rozumienia pojęcia jest najniższym poziomem rozumienia pojęć matematycznych, traktowanym przez Dyrszlaga jako niezbędne minimum[1][2]. Zazwyczaj jest pierwszym poziomem rozumienia w procesie poznawania danego pojęcia matematycznego[1]. Ten poziom często sprowadza się do formalnego manipulowania symbolami lub podawaniu z pamięci twierdzeń, definicji i przykładów, bez głębszego ich zrozumienia[8]. Poziom ten przede wszystkim wymaga umiejętności posługiwania się poznaną formalną definicją, co może wymagać pokonania konfliktu intuicyjno-formalnego, tzn. sprzeczności między formalną definicją, a tym, co intuicyjnie uczeń sądził na temat danego pojęcia przed poznaniem jego precyzyjnej definicji[4].

Osoba rozumie dane pojęcie matematyczne na poziomie definicyjnym, gdy spełnia wszystkie poniższe warunki[1]:

  • potrafi podać formalną definicję pojęcia oraz wyszczególnić istotne elementy tejże definicji[1][4];
  • spośród podanych przykładów potrafi wskazać, które z nich spełniają warunki definicji, a które nie[1][4];
  • potrafi samodzielnie podać (lub przynajmniej określić sposób konstrukcji) własne desygnaty pojęcia[1][4];
  • potrafi samodzielnie podać (lub przynajmniej określić sposób konstrukcji) własne nie-przykłady[a], tzn. przykłady, które nie są desygnatami pojęcia[1][4].

Poziom lokalnej komplikacji

edytuj

Poziom lokalnej komplikacji stanowi rozszerzenie poziomu definicyjnego o umiejętność wskazywania bardziej specyficznych desygnatów i nie-przykładów, jak np. przypadki graniczne[2][9]. Poziom ten sprawdza poprawność transferu struktury formalnej pojęcia na grunt abstrakcyjny[4]. Na tym poziomie dane pojęcie przestaje być w pełni wyizolowane od innych pojęć matematycznych, osoba rozumująca na poziomie lokalnej komplikacji jest w stanie dostrzegać pewne nadrzędne i podrzędne pojęcia oraz abstrahować pewne cechy tego pojęcia[9].

Osoba rozumie dane pojęcie matematyczne na poziomie lokalnej komplikacji, gdy spełnia wszystkie poniższe warunki[9]:

  • potrafi samodzielnie podać własne desygnaty pojęcia, przy narzuconych dodatkowych założeniach[2][4][9];
  • potrafi samodzielnie podać własne nie-przykłady pojęcia, przy narzuconych dodatkowych założeniach[2][4][9];
  • potrafi rozstrzygać, czy podany przypadek graniczny stanowi desygnat danego pojęcia, czy nie[2][9].

Poziom uogólnienia

edytuj

Poziom uogólnienia jest zdecydowanie wyższym poziomem rozumienia od poziomu definicyjnego oraz lokalnej komplikacji[10]. Na tym poziomie następuje przejście od konkretu do ogółu, co umożliwia np. dowodzenie twierdzeń związanych z danym pojęciem[8][10].

Osoba rozumie dane pojęcie matematyczne na poziomie uogólnienia, gdy spełnia wszystkie poniższe warunki[10]:

  • potrafi określić stosunki zachodzące między danym pojęciem a pojęciami pokrewnymi[2][4][10];
  • potrafi wskazać pojęcia nadrzędne (pominięcie pewnych cech danego pojęcia) i podrzędne (zawężenie pewnych cech danego pojęcia)[2][10];
  • potrafi dokonać takiej klasyfikacji pojęcia nadrzędnego, w której jedną z klas jest dane pojęcie[4][10];
  • potrafi rozwiązywać skomplikowane zadania w różnych formach zapisu oraz w zadaniach tych skupiać się wyłącznie na istotnych cechach danego pojęcia, ignorując niepotrzebne cechy[2][10];
  • potrafi bez wahania natychmiast reagować na błędne stwierdzenia dotyczące danego pojęcia[4][10].

Poziom rozumienia strukturalnego

edytuj

Poziom rozumienia strukturalnego jest najwyższym możliwym poziomem rozumienia pojęcia matematycznego[11]. Ten poziom polega na dostrzeżeniu szerokiej, ogólnej struktury zawierającej rozmaite modele matematyczne danego pojęcia[4][8][11].

Osoba rozumie dane pojęcie na poziomie strukturalnym, gdy potrafi samodzielnie i spontanicznie dostrzegać wspólne struktury różnych modeli matematycznych danego pojęcia[4][8][11] oraz dostrzega analogie między danym pojęciem a innymi pojęciami[2][4].

Na poziomie szkolnym rozumienie pojęć matematycznych na poziomie strukturalnym jest praktycznie niemożliwe – realizowane jest dopiero na poziomie matematyki wyższej[2][3][11][12].

Przykłady

edytuj

Poziomy rozumienia pojęcia funkcji

edytuj
  1. Uczeń/student rozumie, czym jest funkcja, na poziomie definicyjnym, gdy m.in.:
    • podaje z pamięci definicję funkcji: w postaci słownej, czynnościowej oraz symbolicznej[13];
    • wyróżnia dwa główne warunki definicyjne, tzn.: każdemu elementowi dziedziny przyporządkowany jest dokładnie jeden element przeciwdziedziny[13];
    • spośród kilku definicji wskazuje te, które są definicjami funkcji, oraz te, które nie są[13];
    • wymyśla równoważne definicje funkcji[13];
    • podaje warunki, jakie muszą być spełnione, by relacja nie była funkcją (zaprzeczenie definicji)[13];
    • podaje przykłady i nie-przykłady funkcji[13].
  2. Uczeń/student rozumie, czym jest funkcja na poziomie lokalnej komplikacji, gdy m.in.:
    • podaje przykłady funkcji spełniających jakieś dodatkowe założenia, np.:
    • rozróżnia desygnaty pojęcia w przypadkach granicznych, np.:
      • Czy pojedynczy punkt w układzie współrzędnych może stanowić wykres funkcji?;
      • Czy istnieje funkcja, której dziedziną jest zbiór pusty?;
      • Czy istnieje funkcja, której dziedzina jest niepusta, a przeciwdziedzina jest zbiorem pustym?[14].
    • dokonuje takich zmian w przykładzie funkcji, by stał się nie-przykładem[14];
    • rozwiązuje zadania, wymagające dobrej znajomości definicji funkcji, np.:
      • Czy istnieje funkcja   taka, że   która nie jest liniowa, ale jest ciągła na dziedzinie?[15].
  3. Uczeń/student rozumie, czym jest funkcja na poziomie uogólnienia, gdy m.in.:
    Co możesz powiedzieć o klasie wszystkich funkcji określonych na zbiorze liczb całkowitych, spełniających dla każdego argumentu warunek  ?[15].
    • przeprowadza proste dowody matematyczne, np.:
      • Udowodnij, że złożenie funkcji rosnących jest funkcją rosnącą;
      • Niech   Udowodnij, że jeśli   gdzie   jest ustaloną liczbą, to funkcja   jest funkcją okresową[16].
  4. Uczeń/student rozumie, czym jest funkcja, na poziomie strukturalnym, gdy m.in.:
    • dostrzega analogie w pozornie niezwiązanych ze sobą zadaniach, np. w różnych zadaniach optymalizacyjnych o analogicznych rozwiązaniach[12];
    • dostrzega analogie między różnymi klasami, np. między ciągiem a funkcją lub między ciągiem arytmetycznym a geometrycznym[12];
    • dostrzega analogie między modelami, np.
      • dostrzega analogie w notacji i języku między funkcjami rzeczywistymi a macierzami;
      • potrafi udowodnić, że zbiór izometrii własnych trójkąta równobocznego z działaniem składania tworzy grupę;
      • potrafi udowodnić, że zbiór wszystkich funkcji ciągłych na przedziale domkniętym o wartościach rzeczywistych z działaniem zwykłego dodawania funkcji i mnożenia funkcji przez liczbę, jest przestrzenią Banacha[12].

Uwagi

edytuj
  1. ↑ W pracach niektórych dydaktyków (w tym również u samego Dyrszlaga) można spotkać się ze słowem kontrprzykład, zamiast nie-przykład. Jednak używane w tamtych kontekstach słowo kontrprzykład nie jest tym samym co kontrprzykład w matematyce. W celu uniknięcia nazywania tym samym słowem dwóch zupełnie różnych pojęć niektórzy dydaktycy (np. Sajka) do używania tego przypadku używają słowa nie-przykład.

Przypisy

edytuj
  1. ↑ a b c d e f g h Mirosława Sajka, Pojęcie funkcji. Wiedza przedmiotowa nauczyciela matematyki, Wydawnictwo Naukowe Uniwersytetu Pedagogicznego, Kraków 2019, ISBN 978-83-8084-104-8, s. 43.
  2. ↑ a b c d e f g h i j k l Zygfryd Dyrszlag, O poziomach rozumienia pojęć matematycznych (na przykładzie pojęcia liczb bliźniaczych), Zeszyty Naukowe WSP w Opolu, Opole 1972.
  3. ↑ a b c Zygfryd Dyrszlag, Kontrola rozumienia pojęć matematycznych w procesie dydaktycznym, Zeszyty Naukowe WSP w Opolu, Opole 1974.
  4. ↑ a b c d e f g h i j k l m n o p Michał Krówczyński, Anna Żeromska, Obiekty graniczne definicji matematycznych niezgodne z intuicyjnym obrazem na przykładzie ekstremum lokalnego funkcji, Prace monograficzne z dydaktyki matematyki: współczesne problemy nauczania matematyki, 2008, s. 131.
  5. ↑ Zofia Krygowska, Zarys dydaktyki matematyki, tom III, Wydawnictwa Szkolne i Pedagogiczne, Warszawa 1977, s. 79.
  6. ↑ a b Wanda Nowak, Konwersatorium z dydaktyki matematyki, PWN, Warszawa 1989, ISBN 83-01-08536-3, s. 273–274.
  7. ↑ John Mason, Asking mathematical questions mathematically, International Journal of Mathematical Education, 31(1), 1998.
  8. ↑ a b c d Sebastian Janczy, Kontrola rozumienia pojęcia granicy ciągu z wykorzystaniem platformy e-learningowej Moodle, Akademia Pedagogiczna, Kraków 2008.
  9. ↑ a b c d e f Mirosława Sajka, Pojęcie funkcji. Wiedza przedmiotowa nauczyciela matematyki, Wydawnictwo Naukowe Uniwersytetu Pedagogicznego, Kraków 2019, ISBN 978-83-8084-104-8, s. 43–44.
  10. ↑ a b c d e f g h Mirosława Sajka, Pojęcie funkcji. Wiedza przedmiotowa nauczyciela matematyki, Wydawnictwo Naukowe Uniwersytetu Pedagogicznego, Kraków 2019, ISBN 978-83-8084-104-8, s. 44.
  11. ↑ a b c d Mirosława Sajka, Pojęcie funkcji. Wiedza przedmiotowa nauczyciela matematyki, Wydawnictwo Naukowe Uniwersytetu Pedagogicznego, Kraków 2019, ISBN 978-83-8084-104-8, s. 44–45.
  12. ↑ a b c d Mirosława Sajka, Pojęcie funkcji. Wiedza przedmiotowa nauczyciela matematyki, Wydawnictwo Naukowe Uniwersytetu Pedagogicznego, Kraków 2019, ISBN 978-83-8084-104-8, s. 48.
  13. ↑ a b c d e f Mirosława Sajka, Pojęcie funkcji. Wiedza przedmiotowa nauczyciela matematyki, Wydawnictwo Naukowe Uniwersytetu Pedagogicznego, Kraków 2019, ISBN 978-83-8084-104-8, s. 46.
  14. ↑ a b c Mirosława Sajka, Pojęcie funkcji. Wiedza przedmiotowa nauczyciela matematyki, Wydawnictwo Naukowe Uniwersytetu Pedagogicznego, Kraków 2019, ISBN 978-83-8084-104-8, s. 47.
  15. ↑ a b Mirosława Sajka, Pojęcie funkcji. Wiedza przedmiotowa nauczyciela matematyki, Wydawnictwo Naukowe Uniwersytetu Pedagogicznego, Kraków 2019, ISBN 978-83-8084-104-8, s. 112.
  16. ↑ a b c d Mirosława Sajka, Pojęcie funkcji. Wiedza przedmiotowa nauczyciela matematyki, Wydawnictwo Naukowe Uniwersytetu Pedagogicznego, Kraków 2019, ISBN 978-83-8084-104-8, s. 47–48.
Źródło: „https://pl.wiki.x.io/w/index.php?title=Poziomy_rozumienia_pojęć_matematycznych&oldid=72430858”