Pierścień artinowski

Pierścień artinowski – pierścień $R,$ w którym każdy zstępujący (w sensie inkluzji) ciąg $I_{1}\supset I_{2}\supset I_{3}\supset \dots$ ideałów pierścienia $R$ stabilizuje się^[1]. Pojęcie pierścienia artinowskiego zostało wprowadzone w 1944 roku przez Emila Artina^[2].

Stabilizowanie się ciągu ideałów $I_{i}\subset R$ oznacza, że:

\exists _{k\in \mathbb {N} }\forall _{n>k}\ I_{n}=I_{k}

^[1].

Jeśli dziedzina całkowitości $R$ jest pierścieniem artinowskim, to $R$ jest ciałem^[3]. By udowodnić to twierdzenie, wystarczy rozpatrzeć ciąg $sR\supset s^{2}R\supset \dots ,$ (dla dowolnego $s\in R\setminus \{0\}$ ) i pokazać, że $s$ jest elementem odwracalnym^[3]^[4].

Przypisy

↑ ^a ^b Rutkowski 2006 ↓, s. 178, Definicja 128.
↑ Emil Artin, [w:] Encyclopædia Britannica [dostęp 2022-10-03] (ang.).
↑ ^a ^b Rutkowski 2006 ↓, s. 178, zad. 706.
↑ Rutkowski 2006 ↓, s. 356.

Bibliografia

Jerzy Rutkowski: Algebra abstrakcyjna w zadaniach. Warszawa: Wydawnictwo Naukowe PWN, 2006. ISBN 978-83-01-14388-6. OCLC 76326157.

Linki zewnętrzne

Artinian ring (ang.), Encyclopedia of Mathematics, encyclopediaofmath.org [dostęp 2024-04-05].

[CITEREFRutkowski2006178,_Definicja_128-1] Rutkowski 2006 ↓, s. 178, Definicja 128.

[Brit-2] Emil Artin, [w:] Encyclopædia Britannica [dostęp 2022-10-03] (ang.).

[CITEREFRutkowski2006178,_zad._706-3] Rutkowski 2006 ↓, s. 178, zad. 706.

[CITEREFRutkowski2006356-4] Rutkowski 2006 ↓, s. 356.

[1]

[2]

[3]

[4]