Nieporządek

Nieporządek – permutacja elementów zbioru, która nie pozostawia żadnego elementu na swoim oryginalnym miejscu (innymi słowy nie posiada żadnego punktu stałego).

Wykres pokazujący liczbę możliwych permutacji (n!) oraz nieporządków (!n) w miarę wzrostu n.

Liczbę nieporządków danego n-elementowego zbioru oznacza się symbolem podsilni !n, n¡ lub $d_{n}$ (zwanej również „dolną silnią”).

Problem zliczania nieporządków był rozważany przez Pierre’a Rémonda de Montmorta w 1708  ; podał on rozwiązanie w 1713, równolegle z Nicolausem Bernoullim. Stąd też innym określeniem nieporządków jest „liczby de Montmorta”.

Przykład

Nauczyciel rozdał czterem uczniom – A, B, C i D – sprawdziany i poprosił, aby sami ocenili swoje prace. Oczywiście żaden uczeń nie powinien oceniać swojego własnego testu. Na ile sposobów nauczyciel może rozdać sprawdziany, aby żaden uczeń nie dostał swojego? Z 24 permutacji (4!) zbioru czteroelementowego tylko 9 jest nieporządkami:

BADC, BCDA, BDAC,

CADB, CDAB, CDBA,

DABC, DCAB, DCBA.

W każdym innym przypadku przynajmniej jeden uczeń otrzyma swój własny sprawdzian.

Zliczanie nieporządków

Wykorzystajmy przykład, aby odnaleźć liczbę nieporządków zbioru n-elementowego. Przypuśćmy, że mamy teraz n uczniów oraz n sprawdzianów, oznaczonych od 1 do n. Chcemy policzyć, na ile sposobów możemy rozdać każdej osobie jeden sprawdzian, tak aby żaden uczeń nie otrzymał swojego sprawdzianu. Załóżmy, że pierwszy uczeń otrzymał sprawdzian o numerze $i\neq 1$. Możliwe są dwie sytuacje:

1. Uczeń o numerze i nie otrzymał sprawdzianu numer 1. Rozdanie sprawdzianów o numerach innych niż i sprowadza się do problemu z $n-1$ uczniami i $n-1$ sprawdzianami: każda z pozostałych $n-1$ osób ma jeden niedozwolony numer sprawdzianu (uczniowi o numerze i nie wolno wziąć sprawdzianu o numerze 1),
2. Uczeń o numerze i dostał sprawdzian numer 1. Ten przypadek redukuje się do problemu dla $n-2$ osób i $n-2$ sprawdzianów (każda z osób poza uczniami 1 oraz i nie może dostać tylko swojego sprawdzianiu).

Stąd dla każdej z $n-1$ możliwości dla pierwszego sprawdzianu pozostałe możemy rozdać na ${!(n-1)}+{!(n-2)}$ sposobów. To daje równanie rekurencyjne

$!n=(n-1)({!(n-1)}+{!(n-2)})$

przy warunkach początkowych !0 = 1 i !1 = 0.

Identyczna formuła rekurencyjna występuje dla silni (z innymi warunkami startowymi): mamy 0! = 1, 1! = 1 oraz

$n!=(n-1)((n-1)!+(n-2)!).$

Podobieństwo to wykorzystuje się do udowadniania związków liczby nieporządków z liczbą e.

Do wyprowadzenia wzoru jawnego używa się zasady włączeń i wyłączeń :

$!n=n!\sum _{i=0}^{n}{\frac {(-1)^{i}}{i!}}.$

Dowodzi się również poniższe wzory :

$!n=\left\lfloor {\frac {n!}{e}}+{\frac {1}{2}}\right\rfloor ,\quad n\geq 1,$

$!n=\left[{\frac {n!}{e}}\right],\quad n\geq 1,$

gdzie $\left\lfloor x\right\rfloor$ jest funkcją podłogi, a $[x]$ zaokrągleniem do najbliższej liczby całkowitej.

$!n=\left\lfloor (e+e^{-1})n!\right\rfloor -\lfloor en!\rfloor ,\quad n\geq 2,$

$!n=n!-\sum _{i=1}^{n}{n \choose i}\cdot !(n-i),$

Zachodzą również następujące zależności rekurencyjne :

$!n=n\left(!(n-1)\right)+(-1)^{n}.$

Poczynając od n = 0, liczba nieporządków zbioru n-elementowego wynosi:

1, 0, 1, 2, 9, 44, 265, 1854, 14833, 133496, 1334961, 14684570, 176214841, 2290792932, ... (ciąg A000166 w OEIS).

Są to kolejne wartości podsilni oraz problemu permutacji z 0 punktami stałymi (patrz niżej).

Granica stosunku nieporządków do permutacji zbioru n-elementowego

Używając powyższych rekurencji, można pokazać, że

$\lim _{n\to \infty }{\frac {!n}{n!}}={\frac {1}{e}}\approx 0{,}3679\dots$

Jest to granica prawdopodobieństw p_n = d_n/n! zdarzeń polegających na tym, że losowo wybrana permutacja zbioru o n elementach jest nieporządkiem. Prawdopodobieństwo to szybko zmierza do stałej granicy, w miarę jak wartości n rosną. Powyższy wykres pokazuje, że krzywa reprezentująca liczbę nieporządków jest przesunięta od krzywej liczby permutacji o mniej więcej stałą wartość.

Przywołując wcześniejszy przykład losowego rozdawania do poprawy sprawdzianów uczniom wnioskujemy, że prawdopodobieństwo, że jakiś uczeń natrafi na swój własny sprawdzian wynosi około 63% i nie zmienia się to wraz ze wzrostem ilości uczniów.

Uogólnienia

Problem nieporządków można rozszerzyć na pytanie o liczbę permutacji zbioru n-elementowego o dokładnie k punktach stałych.

Nieporządki są przykładem znacznie większej klasy permutacji o pewnych narzuconych ograniczeniach. Problem par małżeńskich zadaje pytanie, na ile sposobów dookoła okrągłego stołu można rozmieścić n par małżeńskich, tak, by osoby przeciwnej płci siedziały na zmianę, a żadna osoba nie siedziała obok swojego współmałżonka.

Bibliografia

• Zbigniew Bobiński, Lev Kourliandtchik, Mirosław Uscki: Miniatury matematyczne. Elementarne metody w kombinatoryce. Toruń: Wydawnictwo Aksjomat, 2002, s. 16–17. ISBN 83-87329-35-5.
• Ronald Graham, Donald Knuth, Oren Patashnik: Matematyka konkretna. Warszawa: PWN, 2006, s. 223–229. ISBN 978-83-01-14764-8.
• Mehdi Hassani. Derangements and Applications. „Journal of Integer Sequences”. 6 (03.1.2), s. 1–8, 2003. 
• Pierre Rémond de Montmort: Essay d’analyse sur les jeux de hazard. Paryż: Jacque Quillau, 1708.
• Pierre Rémond de Montmort: Seconde Edition, Revue & augmentée de plusieurs Lettres. Paryż: Jacque Quillau, 1713.

Linki zewnętrzne

• (ciąg A000166 w OEIS)
• Derangement (ang.), Encyclopedia of Mathematics, encyclopediaofmath.org [dostęp 2024-04-05].