Multifunkcja

Multifunkcja lub funkcja wielowartościowa – uogólnienie pojęcia funkcji poprzez dopuszczenie przyporządkowania każdemu elementowi dziedziny więcej niż jednego elementu przeciwdziedziny. Z drugiej strony, pojęcie to definiuje się jako szczególny przypadek pewnego rodzaju funkcji.

Rysunek przedstawia odwzorowanie wielowartościowe – elementowi 3 przyporządkowane są dwa elementy przeciwdziedziny.

Definicja

Niech $X$ i $Y$ będą niepustymi zbiorami. Multifunkcją $f$ między zbiorami $X$ i $Y$ nazywa się przyporządkowanie każdemu $x\in X$ niepustego zbioru $fx\subseteq Y.$ Jeśli $f$ jest multifunkcją między $X$ i $Y,$ to oznacza się to czasami symbolem

$f\colon X\rightsquigarrow Y.$

Dla multifunkcji definiuje się, analogicznie jak dla funkcji, pojęcia obrazu, wykresu, mutlifunkcji odwrotnej czy złożenia. Traktując multifunkcję $f$ jako funkcję $f\colon X\to {\mathcal {P}}(Y)$ pojęcia te nie pokrywają się ze swoimi klasycznymi odpowiednikami.

• Obrazem zbioru $A\subseteq X$ poprzez multifunkcję $f$ nazywa się zbiór

$f(A)=\bigcup _{x\in A}fx.$

• Wykresem multifunkcji $f$ nazywamy zbiór

${\text{Graf}}(f)=\{(x,y)\in X\times Y\colon \,y\in fx\}.$

• Multifunkcją odwrotną do multifunkcji $f$ nazywamy multifunkcję $f^{-1}\colon f(X)\rightsquigarrow X$ taką, że

$f^{-1}y=\{x\in X\colon \,y\in fx\}.$

• Jeśli $Z$ jest niepustym zbiorem oraz $f\colon X\rightsquigarrow Y$ i $g\colon Y\rightsquigarrow Z$ są multifunkcjami, to ich złożeniem nazywamy multifunkcję $g\circ f\colon X\rightsquigarrow Z$ daną wzorem

$(g\circ f)x=\bigcup _{y\in fx}gy.$

Ponadto dla multifunkcji $f\colon X\rightsquigarrow Y$ definiuje się (dla $B\subseteq Y$):

• $f^{-}(B)=\{x\in X\colon \,fx\cap B\neq \varnothing \},$
• $f^{+}(B)=\{x\in X\colon \,fx\subseteq B\}.$

m-produkt

Pojęcie m-produktu rodziny zbiorów niepustych niejako „naśladuje” pojęcie produktu rodziny zbiorów.

Niech $\{Y_{t}\colon t\in T\}$ będzie rodziną zbiorów niepustych. m-produktem $P\{Y_{t}\colon t\in T\}$ tej rodziny nazywamy rodzinę wszystkich multifunkcji

$f\colon T\rightsquigarrow \bigcup _{t\in T}Y_{t}.$

Jeśli $Y_{t}=Y$ dla każdego $t\in T,$ to m-produkt $P\{Y_{t}\colon t\in T\}$ oznaczamy symbolem $Y^{mT}.$ Jeśli $t\in T$ to multifunkcję ${\text{pr}}_{t}\colon P\{Y_{t}\colon t\in T\}\rightsquigarrow Y_{t}$ daną wzorem

${\text{pr}}_{t}f=ft$

nazywamy rzutowaniem na $Y_{t}.$

Topologia w m-produkcie

Jeśli $(Y_{t},\tau _{t}),t\in T$ są przestrzeniami topologicznymi, to w m-produkcie $P\{Y_{t}\colon t\in T\}$ można wprowadzić topologię poprzez analogię do topologii Tichonowa w produkcie kartezjańskim przestrzeni topologicznych. Topologię tę definiuje się poprzez zadanie podbazy postaci

$\{{\text{pr}}_{t}^{-}(U_{t}),{\text{pr}}_{t}^{+}(U_{t})\colon t\in T,U_{t}\in \tau _{t}\}.$

Bibliografia

• Geoffrey Fox, Pedro Morales, Non-Hausdorff multifunction generalization of the Kelley-Morse Ascoli theorem, Pacific J. Math. vol. 64, nr 1 (1976), s. 137–143.

Linki zewnętrzne

• Eric W.E.W. Weisstein Eric W.E.W., Multivalued Function, [w:] MathWorld, Wolfram Research  (ang.). [dostęp 2023-08-29].
• Eric W.E.W. Weisstein Eric W.E.W., Multiple-Valued Function, [w:] MathWorld, Wolfram Research  (ang.). [dostęp 2023-08-29].
• Multivalent function (ang.), Encyclopedia of Mathematics, encyclopediaofmath.org, [dostęp 2023-08-29].