Macierz podstawowa

Macierz podstawowa $\varphi (t)=e^{At}$ ma następujące własności:

${\frac {d\varphi (t)}{dt}}=A\varphi (t),$

$\varphi (0)=I,$

gdzie $I$ to macierz jednostkowa.

Macierz podstawową wykorzystuje się do rozwiązywania liniowych układów różniczkowych. Jest kilka metod wyznaczania macierzy podstawowej układu, m.in.:

• metoda wzoru Sylvestra,
• metoda odwrotnego przekształcenia Laplace’a,
• metoda diagonalizacji macierzy (wektorów własnych).

Wyznaczenie macierzy podstawowej $\varphi (t)=e^{At}$ metodą odwrotnego przekształcenia Laplace’a, polega na rozwiązaniu równania:

$e^{At}={\mathcal {L}}^{-1}([sI-A]^{-1}),$

gdzie:

${\mathcal {L}}^{-1}$ – odwrotna transformata Laplace’a,

$I$ – macierz jednostkowa,

$A$ – macierz/parametr z równania różniczkowego o postaci ${\frac {dx(t)}{dt}}=Ax(t).$

Zobacz też

• eksponenta macierzy
• macierz przejścia (automatyka)