Liczby podwójne można ściśle zdefiniować jako zbiór par liczb rzeczywistych , tj.
R
×
R
{\displaystyle \mathbb {R} \times \mathbb {R} }
(
a
,
b
)
⊕
(
c
,
d
)
=
(
a
+
c
,
b
+
d
)
,
{\displaystyle (a,b)\oplus (c,d)=(a+c,b+d),}
(
a
,
b
)
⊗
(
c
,
d
)
=
(
a
c
+
b
d
,
a
d
+
b
c
)
.
{\displaystyle (a,b)\otimes (c,d)=(ac+bd,ad+bc).}
Para
(
1
,
0
)
{\displaystyle (1,0)}
elementem neutralnym mnożenia
⊗
{\displaystyle \otimes }
(
0
,
1
)
2
=
(
1
,
0
)
.
{\displaystyle (0,1)^{2}=(1,0).}
Jest to więc pierścień przemienny z jedynką i z dzielnikami zera [a]
(
a
,
a
)
{\displaystyle (a,a)}
(
a
,
−
a
)
,
{\displaystyle (a,-a),}
x
,
y
:
{\displaystyle x,y{:}}
(
x
,
x
)
⊗
(
y
,
−
y
)
=
(
y
,
−
y
)
⊗
(
x
,
x
)
=
(
0
,
0
)
.
{\displaystyle (x,x)\otimes (y,-y)=(y,-y)\otimes (x,x)=(0,0).}
Ponieważ
(
1
,
0
)
{\displaystyle (1,0)}
(
0
,
1
)
{\displaystyle (0,1)}
(
a
,
b
)
=
(
a
,
0
)
+
(
0
,
b
)
=
a
+
b
ȷ
{\displaystyle (a,b)=(a,0)+(0,b)=a+b\jmath }
ȷ
=
(
0
,
1
)
.
{\displaystyle \jmath =(0,1).}
Dla liczby podwójnej niebędącej dzielnikiem zera, tj.
c
+
d
ȷ
,
c
2
−
d
2
≠
0
{\displaystyle c+d\jmath ,\quad c^{2}-d^{2}\neq 0}
(
c
+
d
ȷ
)
−
1
=
1
c
+
d
ȷ
=
−
c
+
d
ȷ
−
c
2
+
d
2
.
{\displaystyle (c+d\jmath )^{-1}={\frac {1}{c+d\jmath }}={\frac {-c+d\jmath }{-c^{2}+d^{2}}}.}
Pierścień liczb podwójnych można zanurzyć izomorficznie w pierścieniu macierzy stopnia drugiego:
a
+
b
ȷ
↔
(
a
b
b
a
)
,
{\displaystyle a+b\jmath \ \leftrightarrow {\begin{pmatrix}a&b\\b&a\end{pmatrix}},}
w szczególności
ȷ
↔
(
0
1
1
0
)
.
{\displaystyle \jmath \ \leftrightarrow {\begin{pmatrix}0&1\\1&0\end{pmatrix}}.}
(
12
+
7
ȷ
)
+
(
36
+
43
ȷ
)
=
48
+
50
ȷ
{\displaystyle (12+7\jmath )+(36+43\jmath )=48+50\jmath }
(
5
+
3
ȷ
)
⋅
(
6
+
4
ȷ
)
=
42
+
38
ȷ
{\displaystyle (5+3\jmath )\cdot (6+4\jmath )=42+38\jmath }
↑ Z tego względu określenie „liczby podwójne” jest nieco mylące – w algebrze najczęściej liczbami określa się podzbiory (podciała) ciała liczb zespolonych.
Double and dual numbers (ang.), Encyclopedia of Mathematics, encyclopediaofmath.org [dostęp 2024-04-05].