Liczby Bernoulliego

nieskończony ciąg liczb niewymiernych

Liczby Bernoulliego – nieskończony ciąg liczb wymiernych oznaczanych jako gdzie jest numerem porządkowym liczby, wprowadzony w roku 1631 przez Johanna Faulhabera w celu ułatwienia obliczania sum ustalonych potęg kolejnych liczb naturalnych. Takie ich zastosowania i niektóre ich własności opisał szczegółowo Jakob Bernoulli w książce Ars Conjectandi (wydanej po śmierci autora w roku 1713). Stwierdza tam między innymi, że potrafi, wykorzystując wzór Faulhabera (patrz niżej) obliczyć sumę: „w pół kwadransa”.

Liczby Bernoulliego znalazły zastosowanie w analizie (rozwinięcia funkcji w szereg Taylora) i w teorii liczb.

Definicja

edytuj

Obecnie funkcjonują w matematyce dwie definicje liczb Bernoulliego: nowsza – podana niżej jako definicja 1 i starsza – niżej cytowana jako definicja 2. Dla odróżnienia liczby Bernoulliego określone według definicji 1 oznacza się przez   a według definicji 2 – przez   Przy tym liczby   stanowią podzbiór właściwy liczb  

Liczby Bernoulliego – definicja 1

edytuj

Liczby Bernoulliego definiuje się jako współczynniki pojawiające się w rozwinięciu w szereg Taylora funkcji[1]:

 

Szereg powyższy jest zbieżny dla  

Równoważnie liczby Bernoulliego można zdefiniować rekurencyjnie za pomocą wzoru:

 

gdzie  

Według tej definicji wszystkie liczby Bernoulliego o indeksach nieparzystych większych od 2 są równe 0.

Liczby o indeksach parzystych większych od 0 są na przemian dodatnie i ujemne.

Pierwsze 21 liczb Bernoulliego zaczynając od  

 

Liczby Bernoulliego – definicja 2

edytuj

Liczby Bernoulliego definiuje się tym razem jako współczynniki pojawiające się w rozwinięciu w szereg Taylora funkcji:

 

Pierwsze kilka liczb Bernoulliego zaczynając od  

 

Powiązanie pomiędzy liczbami   i   opisuje poniższy wzór:

 

Wzór asymptotyczny

edytuj

Wykorzystując wzór Stirlinga, otrzymuje się następujące przybliżenie wartości liczb Bernoulliego:

 

Twierdzenie Staudta

edytuj

Każda liczba Bernoulliego   może być przedstawiona w postaci[2]

  gdzie
  jest liczbą naturalną, a sumowanie przebiega po takich dzielnikach   liczby   dla których   jest liczbą pierwszą.

Na przykład liczba Bernoulliego   może być przedstawiona w postaci   bo liczba 6 ma cztery dzielniki: 1, 2, 3, 6, z których trzy: 1, 2, 6 są odpowiednio liczbami o 1 mniejszymi od liczb pierwszych: 2, 3, 7.

Przykłady zastosowań

edytuj

Można je znaleźć w rozwinięciach w szereg Taylora wielu funkcji takich jak   i w innych.

Wzór Faulhabera na sumę potęg kolejnych liczb naturalnych:

 

Związek z funkcją dzeta Riemanna wyraża wzór Eulera:

 

W szczególności wynika stąd, że

 

Inny wzór wyprowadzony także przez Eulera:

 

Liczby Bernoulliego badano też m.in. w związku z liczbami pierwszymi regularnymi. Wiele dalszych własności liczb Bernoulliego i innych ich zastosowań można znaleźć w podanych niżej źródłach.

Przypisy

edytuj
  1. liczby Bernoulliego, [w:] Encyklopedia PWN [online], Wydawnictwo Naukowe PWN [dostęp 2021-10-02].
  2. A.О. Гельфонд, Исчисление конечных разностей, ГИТТЛ, 1952, s. 336–337.

Bibliografia

edytuj