Rotator sztywny – model w mechanice kwantowej , gdzie występuje układ dwóch cząstek , związanych ze sobą. Może on się obracać w przestrzeni, podczas gdy odległość pomiędzy cząstkami się nie zmienia.
edytuj
Dla mechaniki kwantowej ruch translacyjny nie jest interesujący, zatem rozpatruje się tylko ruch cząstek w układzie środka mas . Dzięki temu można wprowadzić tzw. masę zredukowaną , w której energia kinetyczna ruchu dwóch cząstek o masach
m
1
{\displaystyle m_{1}}
m
2
{\displaystyle m_{2}}
μ
:
{\displaystyle \mu {:}}
1
μ
=
1
m
1
+
1
m
2
,
{\displaystyle {\frac {1}{\mu }}={\frac {1}{m_{1}}}+{\frac {1}{m_{2}}},}
gdzie:
μ
{\displaystyle \mu }
m
1
,
{\displaystyle m_{1},}
m
2
{\displaystyle m_{2}}
Dla takiego układu równanie Schrödingera ma postać:
[
−
ℏ
2
2
μ
∇
2
+
V
^
]
ψ
=
E
ψ
,
{\displaystyle \left[-{\frac {\hbar ^{2}}{2\mu }}\nabla ^{2}+{\hat {V}}\right]\psi =E\psi ,}
gdzie:
∇
2
=
Δ
{\displaystyle \nabla ^{2}=\Delta }
laplasjan ,
ℏ
{\displaystyle \hbar }
V
^
{\displaystyle {\hat {V}}}
Rotator sztywny to typowy układ, gdzie występują więzy . Ruch musi być ograniczony do takiego, by nie naruszyć odległości pomiędzy cząstkami. Dobrze jest wówczas wprowadzić współrzędne sferyczne:
x
=
x
(
r
,
θ
,
ϕ
)
=
r
sin
θ
cos
ϕ
,
{\displaystyle x=x(r,\theta ,\phi )=r\sin \theta \cos \phi ,}
y
=
y
(
r
,
θ
,
ϕ
)
=
r
sin
θ
sin
ϕ
,
{\displaystyle y=y(r,\theta ,\phi )=r\sin \theta \sin \phi ,}
z
=
z
(
r
,
θ
,
ϕ
)
=
r
cos
θ
.
{\displaystyle z=z(r,\theta ,\phi )=r\cos \theta .}
gdzie:
r
{\displaystyle r}
θ
{\displaystyle \theta }
ϕ
{\displaystyle \phi }
Wówczas element objętości przyjmuje postać:
d
τ
=
r
2
sin
θ
d
r
d
θ
d
ϕ
.
{\displaystyle \mathrm {d} \tau =r^{2}\ \sin \theta \ \mathrm {d} r\ \mathrm {d} \theta \ \mathrm {d} \phi .}
We współrzędnych sferycznych operator Laplace’a ma postać:
Δ
=
1
r
2
∂
∂
r
(
(
r
2
∂
∂
r
)
+
1
sin
θ
∂
∂
θ
(
sin
θ
∂
∂
θ
)
+
1
sin
2
θ
∂
2
∂
φ
2
)
,
{\displaystyle \Delta ={\frac {1}{r^{2}}}{\frac {\partial }{\partial r}}\left(\left(r^{2}{\frac {\partial }{\partial r}}\right)+{\frac {1}{\sin \theta }}{\frac {\partial }{\partial \theta }}\left(\sin \theta {\frac {\partial }{\partial \theta }}\right)+{\frac {1}{\sin ^{2}\theta }}{\frac {\partial ^{2}}{\partial \varphi ^{2}}}\right),}
a operator Hamiltona ma postać:
H
^
=
−
ℏ
2
2
I
[
1
sin
θ
∂
∂
θ
(
sin
θ
∂
∂
θ
)
+
1
sin
2
θ
∂
2
∂
φ
2
]
,
{\displaystyle {\hat {H}}=-{\frac {\hbar ^{2}}{2I}}\left[{\frac {1}{\sin \theta }}{\frac {\partial }{\partial \theta }}\left(\sin \theta {\frac {\partial }{\partial \theta }}\right)+{\frac {1}{\sin ^{2}\theta }}{\frac {\partial ^{2}}{\partial \varphi ^{2}}}\right],}
gdzie:
I
=
μ
R
2
{\displaystyle I=\mu R^{2}}
moment bezwładności .Energia całkowita rotatora klasycznego jest równa energii kinetycznej. Oznaczając przez
Y
{\displaystyle Y}
−
ℏ
2
2
I
[
1
sin
θ
∂
∂
θ
(
sin
θ
∂
∂
θ
)
+
1
sin
2
θ
∂
2
∂
φ
2
]
Y
=
E
Y
.
{\displaystyle -{\frac {\hbar ^{2}}{2I}}\left[{\frac {1}{\sin \theta }}{\frac {\partial }{\partial \theta }}\left(\sin \theta {\frac {\partial }{\partial \theta }}\right)+{\frac {1}{\sin ^{2}\theta }}{\frac {\partial ^{2}}{\partial \varphi ^{2}}}\right]Y=EY.}
Można je zapisać również w postaci:
1
sin
θ
∂
∂
θ
(
sin
θ
∂
Y
∂
θ
)
+
1
sin
2
θ
∂
2
Y
∂
φ
2
Y
=
λ
Y
,
{\displaystyle {\frac {1}{\sin \theta }}{\frac {\partial }{\partial \theta }}\left(\sin \theta {\frac {\partial Y}{\partial \theta }}\right)+{\frac {1}{\sin ^{2}\theta }}{\frac {\partial ^{2}Y}{\partial \varphi ^{2}}}Y=\lambda Y,}
gdzie:
λ
=
2
I
E
ℏ
2
.
{\displaystyle \lambda ={\frac {2IE}{\hbar ^{2}}}.}
Aby rozwiązać równanie Schrödingera, można przedstawić funkcję
Y
{\displaystyle Y}
Y
(
θ
,
ϕ
)
=
Θ
(
θ
)
Φ
(
ϕ
)
.
{\displaystyle Y(\theta ,\phi )=\Theta (\theta )\Phi (\phi ).}
Poprzez podstawienie tego iloczynu do równania Schrödingera, pomnożeniu przez
sin
2
θ
/
Θ
Φ
{\displaystyle \sin ^{2}\theta /\Theta \Phi }
sin
θ
Θ
∂
∂
θ
(
sin
θ
∂
Θ
∂
θ
)
+
λ
sin
2
θ
=
−
1
Φ
∂
2
Θ
∂
φ
2
.
{\displaystyle {\frac {\sin \theta }{\Theta }}{\frac {\partial }{\partial \theta }}\left(\sin \theta {\frac {\partial \Theta }{\partial \theta }}\right)+\lambda {\sin ^{2}\theta }=-{\frac {1}{\Phi }}{\frac {\partial ^{2}\Theta }{\partial \varphi ^{2}}}.}
Lewa strona tego równania zależy wyłącznie od zmiennej kąta azymutalnego, natomiast prawa tylko od kąta biegunowego. Zatem obie strony muszą być równe pewnej stałej
M
.
{\displaystyle M.}
Φ
M
(
φ
)
=
1
2
π
e
i
M
φ
,
M
=
0
,
±
1
,
±
2
…
{\displaystyle \Phi _{M}(\varphi )={\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}\mathrm {e} ^{\mathrm {i} M\varphi },\quad M=0,\pm 1,\pm 2\dots }
Funkcja
Φ
M
{\displaystyle \Phi _{M}}
λ
=
J
(
J
+
1
)
,
{\displaystyle \lambda =J(J+1),}
z której można otrzymać wyrażenie na energię:
E
J
=
ℏ
2
2
I
J
(
J
+
1
)
.
{\displaystyle E_{J}={\frac {\hbar ^{2}}{2I}}J(J+1).}
Zatem energia zależy od kwantowej liczby rotacji
J
.
{\displaystyle J.}
Y
J
M
(
θ
,
φ
)
=
1
2
π
N
J
,
|
M
|
P
J
|
M
|
(
cos
θ
)
e
i
M
φ
,
{\displaystyle Y_{J}^{M}(\theta ,\varphi )={\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}N_{J,|M|}P_{J}^{|M|}(\cos \theta )\mathrm {e} ^{\mathrm {i} M\varphi },}
gdzie:
N
J
,
|
M
|
=
[
2
J
+
1
2
(
J
+
|
M
|
!
)
(
J
−
|
M
|
!
)
]
1
2
{\displaystyle N_{J,|M|}=\left[{\frac {2J+1}{2}}{\frac {(J+|M|!)}{(J-|M|!)}}\right]^{\frac {1}{2}}}
P
l
m
(
x
)
=
(
1
−
x
2
)
m
/
2
d
m
d
x
m
P
l
(
x
)
{\displaystyle P_{l}^{m}(x)=(1-x^{2})^{m/2}{\frac {\mathrm {d} ^{m}}{\mathrm {d} x^{m}}}P_{l}(x)}
stowarzyszony wielomian Legendre’a . 
![{\displaystyle \left[-{\frac {\hbar ^{2}}{2\mu }}\nabla ^{2}+{\hat {V}}\right]\psi =E\psi ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1b62dded0b0d431f4ddcad96304c1bdcba6c6175)
![{\displaystyle {\hat {H}}=-{\frac {\hbar ^{2}}{2I}}\left[{\frac {1}{\sin \theta }}{\frac {\partial }{\partial \theta }}\left(\sin \theta {\frac {\partial }{\partial \theta }}\right)+{\frac {1}{\sin ^{2}\theta }}{\frac {\partial ^{2}}{\partial \varphi ^{2}}}\right],}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8a8597b5dea52b1224659ee3091793da0c4da98c)
![{\displaystyle -{\frac {\hbar ^{2}}{2I}}\left[{\frac {1}{\sin \theta }}{\frac {\partial }{\partial \theta }}\left(\sin \theta {\frac {\partial }{\partial \theta }}\right)+{\frac {1}{\sin ^{2}\theta }}{\frac {\partial ^{2}}{\partial \varphi ^{2}}}\right]Y=EY.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d8017cdae8c437ec555e5312181257b36c59a76d)
![{\displaystyle N_{J,|M|}=\left[{\frac {2J+1}{2}}{\frac {(J+|M|!)}{(J-|M|!)}}\right]^{\frac {1}{2}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c64bfff94df52154958e5c2891cc692a1e5c5ea8)
