Krzywa Watta

Krzywa Watta – krzywa płaska, tworzona za pomocą dwóch okręgów o promieniach $b$ i środkach oddalonych od siebie o $2a,$ usytuowanych np. w punktach $(\pm a,0);$ gdy końce odcinka prostoliniowego o długości $2c$ ślizgają się po okręgach, to punkt środkowy odcinka kreśli krzywą Watta.

Krzywa Watta o parametrach a=2.1, b=2.2, c=0.6

Krzywa Watta o parametrach a=3.1, b=1.1, c=3.0

Krzywa Watta o parametrach a=1, b=${\sqrt {2}},$ c=1

Krzywa ta została odkryta w związku z pionierskimi pracami Jamesa Watta nad silnikiem parowym.

Współrzędne kartezjańskie

Krzywa Watta jest krzywą algebraiczną szóstego stopnia, tzn. w układzie współrzędnych kartezjańskich jej równanie jest wielomianem szóstego stopnia $W(x,y)$ zmiennych $x$ oraz $y$ (stopień wielomianu jest to maksymalny stopień jego wszystkich składników postaci $x^{i}y^{j}$), tj.

$(x^{2}+y^{2})(x^{2}+y^{2}-d^{2})^{2}+4a^{2}y^{2}(x^{2}+y^{2}-b^{2})=0,$

gdzie $d^{2}=a^{2}+b^{2}-c^{2}.$

Współrzędne biegunowe

Równanie krzywej Watta w układzie współrzędnych biegunowych ma postać:

$r^{2}=b^{2}-\left[a\sin \theta \pm {\sqrt {c^{2}-a^{2}\cos ^{2}\theta }}\right]^{2}.$

Genus

Krzywa Watta ma genus rzędu 1 z niezmiennikiem j danym wzorem

$j={\frac {256{\big (}(b^{2}-1)^{4}-2a^{2}(b^{2}+1)(b^{2}-1)^{2}+a^{4}(b^{4}-b^{2}+1){\big )}^{3}}{a^{8}b^{4}(b^{2}-1)^{2}{\big (}(a+b)^{2}-1{\big )}{\big (}(a-b)^{2}-1{\big )}}}.$

Linki zewnętrzne

• Eric W.E.W. Weisstein Eric W.E.W., Watt’s Curve, [w:] MathWorld, Wolfram Research [dostęp 2020-12-12]  (ang.).
• Krzywa Wattta, [w:] Mathematical curves