Kryterium całkowe

Kryterium całkowe (także kryterium całkowe Maclaurina-Cauchy’ego) – kryterium zbieżności szeregów o wyrazach dodatnich oparte na idei porównywania danego szeregu z całką. Wczesna forma tego kryterium została odkryta w Indiach przez Madhawę w XIV wieku i jego następców ze szkoły w Kerali. W Europie kryterium zostało później ponownie odkryte przez Maclaurina w 1742 i Cauchy’ego.

Kryterium

Niech $f\colon [1,\infty )\to \mathbb {R}$ będzie funkcją dodatnią i malejącą. Niech ponadto $a_{n}=f(n)$ dla każdego $n.$ Wówczas szereg

$\sum _{n=1}^{\infty }a_{n}$

(A)

jest zbieżny wtedy i tylko wtedy, gdy zbieżna jest całka niewłaściwa

$\int \limits _{1}^{\infty }f(x)\,\mathrm {d} x.$

(I)

Interpretacja geometryczna

Wykres funkcji $y={\frac {2}{x}}$ na przedziale $[1,\infty )$

Całka (I) wyraża pole powierzchni pod krzywą $y=f(x)$ (na ilustracji obok zaznaczonej na czarno) na przedziale $[1,\infty ).$ Wyrazy szeregu (A) podają wielkość rzędnych wykresu w punktach $x=1,2,\dots ,$ a więc wyrażają pola prostokątów o podstawie $1$ i wysokościach $a_{n}$ (na ilustracji obok zaznaczone na zielono). Suma szeregu (A) jest zatem sumą pól rzeczonych prostokątów. Biorąc to pod uwagę, kryterium całkowe można zinterpretować następująco: jeżeli pole pod wykresem $y=f(x)$ jest skończone, to tym bardziej skończona jest suma pól $1\cdot a_{n}$ (równa sumie szeregu (A)). Dokonując przesunięcia każdego z prostokątów o $1$ w prawo, wykres $y=f(x)$ na przedziale $[2,\infty )$ znajdzie się zawarty w figurze złożonej ze wspomnianych przesunięć. W szczególności, jeżeli pole pod wykresem $y=f(x)$ jest nieskończone, to nieskończone musi być także pole rozważanej figury, a więc i tym samym suma szeregu (A).

Dowód

Ponieważ funkcja $f$ jest malejąca zachodzą nierówności

• $f(x)\leqslant a_{k}$ dla $k\leqslant x\leqslant k+1,$
• $a_{k}\leqslant f(x)$ dla $k-1\leqslant x\leqslant k.$

Oznacza to, że

$\int \limits _{k}^{k+1}f(x)\,\mathrm {d} x\leqslant a_{k}\leqslant \int \limits _{k-1}^{k}f(x)\,\mathrm {d} x\qquad (k\,=2,3\ldots ),$

a stąd

$a_{2}+\ldots +a_{n}\leqslant \int \limits _{1}^{n}f(x)\,\mathrm {d} x\leqslant a_{1}+\ldots +a_{n-1}.$

W przypadku gdy całka (I) jest zbieżna, ciąg całek częściowych

${\bigg (}\int \limits _{1}^{k}f(x)\,\mathrm {d} x{\bigg )}_{k=1}^{\infty }$

jest ograniczony, co pociąga ograniczoność ciągu sum częściowych

${\bigg (}\sum _{j=1}^{k}a_{j}{\bigg )}_{k=1}^{\infty }$

szeregu (A). Ciąg ten jest także niemalejący (z założenia, że wyrazy szeregu (A) są nieujemne), więc jako ograniczony i niemalejący ciąg liczb rzeczywistych jest on zbieżny, a tym samym szereg (A) jest zbieżny.

W przypadku, gdy szereg (A) jest zbieżny, wyżej zdefiniowany ciąg całek częściowych jest również ograniczony, a więc zbieżny (do całki (I)) jako ograniczony i niemalejący ciąg liczb rzeczywistych.

Przykłady zastosowania

• Szereg harmoniczny rzędu $s{:}$

$\sum _{n=m}^{\infty }{\frac {1}{n^{s}}}$

jest zbieżny dla $s>1.$ Istotnie, funkcja $f(x)=x^{-s}$ jest dodatnia i malejąca na przedziale $[1,\infty ),$ więc stosuje się kryterium całkowe:

$\int \limits _{m}^{\infty }{\frac {\mathrm {d} x}{x^{s}}}=\int \limits _{m}^{\infty }{x^{-s}\mathrm {d} x}=\left[{\frac {x^{-s+1}}{-s+1}}\right]_{m}^{\infty }=\lim _{x\to \infty }~{\frac {x^{-s+1}}{-s+1}}-{\frac {m^{-s+1}}{-s+1}}=-{\frac {m^{-s+1}}{-s+1}},$

gdy $-s+1<0,$ czyli gdy $s>1$.

• Szereg

$\sum _{n=2}^{\infty }{\frac {1}{n\cdot (\ln n)^{s}}}$

jest zbieżny dla $s>1$ i rozbieżny w przeciwnym przypadku. Istotnie, oznaczając

$f(x)={\frac {1}{x\cdot (\ln x)^{s}}}\quad (x\geqslant 2),$

mamy

$\int f(x)\,\mathrm {d} x={\frac {(\ln x)^{1-s}}{1-s}}+C,\quad s\neq 1,$

$\int f(x)\,\mathrm {d} x=\ln(\ln x)+C,\quad s=1,$

a stąd całka niewłaściwa $\textstyle \int _{2}^{\infty }f(x)\,\mathrm {d} x$ istnieje gdy $s>1$ oraz nie istnieje w przeciwnym przypadku.

Bibliografia

• Grigorij Michajłowicz Fichtenholz: Rachunek różniczkowy i całkowy. T. 2. Warszawa: Państwowe Wydawnictwo Naukowe, 1966.
• Franciszek Leja: Rachunek różniczkowy i całkowy. Wyd. 11. Warszawa: PWN, 1971.
• John Srdjan Petrovic: Advanced Calculus: Theory and Practice. Boca Raton, London, New York: CRC Press, 2014. ISBN 978-1466565630.