Kresy dolny i górny

Kres (kraniec) dolny, infimum (łac. infimus „najniższy”) oraz kres (kraniec) górny, supremum (łac. supremus „najwyższy”) – pojęcia oznaczające odpowiednio: największe z ograniczeń dolnych oraz najmniejsze z ograniczeń górnych danego zbioru, o ile takie istnieją. Pojęcia te można określić w dowolnych zbiorach częściowo uporządkowanych, najczęściej jednak oba te terminy są używane w odniesieniu do zbiorów liczbowych.

Czerwony romb jest supremum niebieskiego zbioru

Kresy w zbiorze liczb rzeczywistych

Definicje

Niech $A\subseteq \mathbb {R}$ będzie niepustym podzbiorem.

Ograniczeniem górnym (majorantą) zbioru $A$ nazywamy liczbę $s\in \mathbb {R}$ spełniającą:

$s\geqslant a$ dla wszystkich elementów $a\in A.$

Analogicznie ograniczeniem dolnym (minorantą) zbioru nazywamy liczbę niewiększą od wszystkich liczb tego zbioru.

Kresem górnym zbioru $A$ nazywamy najmniejsze z górnych ograniczeń tego zbioru, tj. liczbę $s\in \mathbb {R}$ spełniającą:

• $s$ jest ograniczeniem górnym zbioru $A;$
• jeśli $s'\in \mathbb {R}$ jest ograniczeniem górnym zbioru $A,$ to $s\leqslant s'.$

Analogicznie kresem dolnym zbioru nazywamy największe ograniczenie dolne tego zbioru.

Kres górny zbioru $A$ oznaczamy $\sup(A),$ kres dolny $\inf(A).$

Zapisy $\inf(A)=-\infty$ oraz $\sup(A)=\infty$ oznaczają, że $A$ jest nieograniczony odpowiednio z dołu lub z góry (zob. rozszerzony zbiór liczb rzeczywistych).

Własności

• Każdy niepusty podzbiór $\mathbb {R}$ ograniczony z góry ma kres górny, a ograniczony z dołu ma kres dolny. Tę własność nazywa się zupełnością zbioru liczb rzeczywistych (zob. aksjomat ciągłości).
• Jeżeli w danym zbiorze istnieje liczba największa, to jest ona jego kresem górnym. Analogicznie, jeżeli istnieje liczba najmniejsza, to jest ona jego kresem dolnym.
• Przypuśćmy, że $A\subseteq \mathbb {R}$ jest niepustym zbiorem oraz $s\in \mathbb {R} ,$ wówczas

  $s=\sup(A)$ wtedy i tylko wtedy, gdy $\forall _{a\in A}\;a\leqslant s$ oraz $\forall _{\varepsilon >0}\;\exists _{a\in A}\;a>s-\varepsilon ;$

  $s=\inf(A)$ wtedy i tylko wtedy, gdy $\forall _{a\in A}\;a\geqslant s$ oraz $\forall _{\varepsilon >0}\;\exists _{a\in A}\;s+\varepsilon >a.$

• Jeżeli $A\subseteq \mathbb {R}$ oraz oznaczymy $-A:=\{x\in \mathbb {R} :-x\in A\},$ to:

  $\inf(-A)=-\sup(A),$

  $\sup(-A)=-\inf(A).$

Przykłady

• Niech $A=[0,3].$ Wówczas:

$\inf(A)=0,$ ponieważ 0 jest najmniejszą liczbą zbioru A.

$\sup(A)=3,$ ponieważ 3 jest największą liczbą zbioru A.

• Niech $B=(0,3).$ Wówczas:

$\inf(B)=0,$ bo 0 jest dolnym ograniczeniem zbioru B, ale żadna liczba większa od 0 takim ograniczeniem nie jest.

$\sup(B)=3,$ bo 3 jest górnym ograniczeniem zbioru B, ale żadna liczba mniejsza od 3 takim ograniczeniem nie jest.

• Niech $C=\{0,1,3\}.$ Wówczas podobnie jak dla zbioru $A,$ $\inf(C)=0$ oraz $\sup(C)=3.$
• Niech $D=\{{\tfrac {1}{2}},{\tfrac {2}{3}},{\tfrac {3}{4}},{\tfrac {4}{5}},{\tfrac {5}{6}},\dots \}.$ Wówczas:

$\sup(D)=1,$ gdyż 1 jest górnym ograniczeniem D, a jednocześnie żadna liczba mniejsza od 1 takim ograniczeniem nie jest.

• Niech $E=\emptyset .$ Wówczas:

$\inf(E)=\infty ,\quad \sup(E)=-\infty ,$  bowiem każda liczba jest ograniczeniem zarówno dolnym, jak i górnym zbioru E.

Kresy w zbiorach częściowo uporządkowanych

Pojęcia kresu dolnego i kresu górnego są zdefiniowane jedynie przy użyciu porządku, dlatego mogą być zdefiniowane w ogólniejszych strukturach.

Definicje

Niech $(X,\sqsubseteq )$ będzie zbiorem częściowo uporządkowanym i niech $A\subseteq X.$ Wówczas definiujemy następujące elementy wyróżnione:

Element $s\in X$ nazywamy ograniczeniem górnym (majorantą) zbioru $A,$ jeśli:

$\forall _{a\in A}\;a\sqsubseteq s.$

Element $s\in X$ nazywamy ograniczeniem dolnym (minorantą) zbioru $A,$ jeśli:

$\forall _{a\in A}\;s\sqsubseteq a.$

Element $s\in X$ jest kresem górnym (supremum) zbioru $A,$ jeśli $s$ jest elementem najmniejszym w zbiorze wszystkich ograniczeń górnych $A,$ tzn.

$s$ jest ograniczeniem górnym zbioru $A;$

jeśli $s'\in X$ jest ograniczeniem górnym zbioru $A,$ to $s\sqsubseteq s'.$

Element $s\in X$ jest kresem dolnym (infimum) zbioru $A,$ jeśli $s$ jest elementem największym w zbiorze wszystkich ograniczeń dolnych $A,$ tzn.

$s$ jest ograniczeniem dolnym zbioru $A;$

jeśli $s'\in X$ jest ograniczeniem dolnym zbioru $A,$ to $s'\sqsubseteq s.$

Jeśli każdy niepusty ograniczony z góry podzbiór $X$ ma kres górny, to porządek $(X,\sqsubseteq )$ nazywa się zupełnym.

Własności

• Każdy element zbioru $X$ jest zarówno ograniczeniem dolnym, jak i ograniczeniem górnym zbioru pustego. Zatem kres dolny zbioru pustego musi być największym elementem zbioru $X,$ a kres górny zbioru pustego – najmniejszym elementem zbioru $X$ (o ile takie istnieją w zbiorze $X$).
• Każdy podzbiór zbioru częściowo uporządkowanego może mieć co najwyżej jeden kres dolny i jeden kres górny. Dlatego też oznaczenia $\inf(A)$ i $\sup(A)$ odpowiednio dla kresu dolnego i kresu górnego zbioru $A$ są jednoznaczne.
• Jeśli $(X,\sqsubseteq )$ jest porządkiem liniowym, to istnieje zupełny porządek liniowy $(Y,\leqslant )$ taki że $X\subseteq Y$ i obcięcie $\leqslant \upharpoonright X$ zgadza się z $\sqsubseteq ,$ oraz $X$ jest gęstym podzbiorem $Y.$ Porządek $(Y,\leqslant )$ jest jedyny z dokładnością do izomorfizmu.
• Jeśli $(X,\sqsubseteq )$ jest zupełnym porządkiem liniowym (tzn. każdy ograniczony niepusty podzbiór $X$ ma kres górny), to każdy ograniczony z dołu niepusty podzbiór $X$ ma kres dolny.

Przykłady

• Kres górny zbioru nie musi istnieć. Na przykład jeśli rozważymy zbiór liczb wymiernych $\mathbb {Q}$ z porządkiem naturalnym i zbiór $A=\{q\in \mathbb {Q} :q^{2}<2\},$ to nie ma żadnej liczby wymiernej która byłaby kresem dolnym, ani żadnej liczby wymiernej która byłaby kresem górnym.
  Ten sam zbiór jako podzbiór liczb rzeczywistych ma postać $(-{\sqrt {2}},{\sqrt {2}})\cap \mathbb {Q}$ i ma oba kresy.
• Niech $X=(1,2)\cup (3,4)$ będzie zbiorem liczb rzeczywistych z naturalnym porządkiem. Wówczas podzbiór $(1,2)$ nie ma w zbiorze $X$ kresu górnego, bowiem $(3,4)$ jest zbiorem wszystkich górnych ograniczeń zbioru $(1,2),$ ale nie ma w nim najmniejszego ograniczenia. Analogicznie podzbiór $(3,4)$ nie ma w zbiorze $X$ kresu dolnego.
• Niech $X=(1,2]\cup (3,4]$ będzie zbiorem liczb rzeczywistych z naturalnym porządkiem. Wówczas podzbiór $(1,2]$ ma w zbiorze $X$ kres górny $2,$ podzbiór $(3,4]$ ma w zbiorze $X$ kres dolny $2.$
• Niech $(\mathbb {B} ,+,\cdot ,\sim ,0,1)$ będzie algebrą Boole’a i niech $\leqslant$ będzie porządkiem boole’owskim na $\mathbb {B}$ (tzn. dla $a\leqslant b$ wtedy i tylko wtedy, gdy $a\cdot b=a$).
  • Kres górny niepustego zbioru $A\subseteq \mathbb {B}$ (jeśli istnieje) jest oznaczany przez $\sum A$ i bywa nazywany sumą zbioru $A$. Algebry w których każdy zbiór ma kres górny (tzn. takie dla których porządek boole’owski $\leqslant$ jest zupełny) są nazywane zupełnymi algebrami Boole’a. Algebry zupełne są szczególnie ważne w teorii forsingu.
  • Kres dolny niepustego zbioru $A\subseteq \mathbb {B}$ (jeśli istnieje) jest oznaczany przez $\prod A$ i bywa nazywany produktem (iloczynem) zbioru $A$. Następujące dwa stwierdzenia są równoważne dla algebry Boole’a $\mathbb {B} {:}$

    każdy niepusty podzbiór $\mathbb {B}$ ma kres górny (tzn. sumę),

    każdy niepusty podzbiór $\mathbb {B}$ ma kres dolny (tzn. produkt).

  • Warto też zauważyć, że (zakładając istnienie odpowiednich kresów, np. zupełność algebry), jeśli $\varnothing \neq A\subseteq \mathbb {B} ,$ to

    $\sum A=\sim \prod \{\sim a:a\in A\}$ oraz $\prod A=\sim \sum \{\sim a:a\in A\}.$

Zobacz też

• elementy minimalny i maksymalny
• elementy najmniejszy i największy

Bibliografia

• Helena Rasiowa: Wstęp do matematyki współczesnej. Warszawa: Państwowe Wydawnictwo Naukowe, 1975, s. 112–122, seria: Biblioteka Matematyczna.
• Agnieszka Wojciechowska: Elementy logiki i teorii mnogości. Warszawa: Państwowe Wydawnictwo Naukowe, 1979, s. 59–61. ISBN 83-01-00756-7.