Komutant
Komutant – szczególna podgrupa danej grupy pomocna przy badaniu jej przemienności.
Definicja
edytujNiech będzie grupą, zaś dowolnymi jej podzbiorami. Komutantem zbiorów i nazywa się podgrupę generowaną przez wszystkie komutatory gdzie i
![{\displaystyle [A,B]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1993067bb075f2ebfa02e78959b7c5bed68e06f4)
![{\displaystyle [a,b]=aba^{-1}b^{-1},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/419e07b503acc0fa10ff9cdf08c39656c26acb9f)
Komutantem lub pochodną grupy nazywa się komutant oznaczany też lub Indukcyjnie definiuje się także n-tą pochodną grupy jako: definiuje się również
![{\displaystyle [G,G]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6ddf7a724a331d1e12ffa6571ba246ebf08f1335)
![{\displaystyle G^{(n+1)}={\big [}G^{(n)},G^{(n)}{\big ]};}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e3ccdfaad9466c305914302066e736f30a3c4952)
Własności
edytuj- Jeżeli dla pewnego grupa jest trywialna, to jest grupą rozwiązalną (jest to jedna z alternatywnych definicji).
- Jeżeli grupa jest trywialna, to jest abelowa.
- Komutant grupy jest jej podgrupą charakterystyczną, a zatem podgrupą normalną.
![{\displaystyle [G,\;G]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a8acf147483b36ad207457eee15892c8654b820e)
Abelianizacja
edytujGrupę ilorazową oznaczaną bądź nazywa się abelianizacją bądź uprzemiennieniem grupy Abelianizacja grupy, jak sama nazwa wskazuje, jest grupą abelową. Jest to największa grupa abelowa będąca obrazem Co więcej, grupa ilorazowa jest abelowa wtedy i tylko wtedy, gdy zawiera „Wysoce nieprzemienne” grupy, czyli takie, których abelianizacje są grupami trywialnymi nazywane są grupami doskonałymi.
![{\displaystyle G/[G,G]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/169489000a5a3370a8d0a56d35924011e53b6ab1)
![{\displaystyle [G,G].}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6733075f76db7d7910fae5342b94508ee54fca94)
Zobacz też
edytujBibliografia
edytuj- A. Bojanowska, P. Traczyk, Algebra I, Skrypt WMIM, 2005.
- Cz. Bagiński, Wstęp do teorii grup, SCRIPT, 2005, ISBN 83-904564-9-4.