Kąt

Kąt – obszar powstały z rozcięcia płaszczyzny przez sumę dwóch różnych półprostych o wspólnym początku, wraz z tymi półprostymi. Półproste nazywane są ramionami kąta, wspólny początek półprostych nazywany jest wierzchołkiem kąta.

Kąt można też zdefiniować jako część wspólną lub jako sumę dwóch półpłaszczyzn z brzegiem wyznaczonych przez dwie nierównoległe proste. Wówczas należy dodatkowo zdefiniować „kąt pełny” jako całą płaszczyznę, „kąt półpełny” jako półpłaszczyznę oraz „kąt zerowy” jako półprostą.

Gdy kąt obejmuje całą płaszczyznę (w przypadku „kąta pełnego”) pomocne bywa wyróżnienie na płaszczyźnie półprostej pełniącej rolę ramion i z jej początkiem jako wierzchołkiem kąta. Podobnie gdy ramiona dopełniają się do prostej (dając „kąt półpełny”), wyróżnia się czasem wspólny początek półprostych, tj. ustalony punkt powstałej prostej, jako wierzchołek.

W artykule opisano kąt płaski na płaszczyźnie euklidesowej z uogólnieniami w osobnej sekcji.

Miara kąta

Kąt liczbowo wyrażony w jednostkach kąta nazywa się miarą kąta. Często, niezbyt precyzyjnie, kątem nazywa się jego miarę.

Kąt skierowany

Kątem obrotu nazywa się miarę kąta (skierowanego) między dowolną prostą przechodzącą przez środek (punkt stały) obrotu a prostą będącą jej obrazem (wspomniane dwie proste przecinają się we wspomnianym środku wyznaczając kąt w powyższym sensie).

Klasyfikacja

Kąty można też klasyfikować ze względu na pojęcia zawierania (kąty zerowy, półpełny i pełny), wypukłości (kąty wypukły i wklęsły), bądź prostopadłości lub przystawania (kąt prosty; kąty ostry i rozwarty – z zawieraniem). Ponieważ dwa kąty płaskie o równej tej samej mierze są przystające, to klasyfikacji kątów można dokonać grupując je również względem ustalonego zakresu ich miar (niżej używane będą miara łukowa wraz z miarą stopniową podaną w nawiasie):

nazwa kąta		opis	wzór
wypukły		kąt będący figurą wypukłą; miara takiego kąta jest mniejsza lub równa π rad (lub 180°) albo równa 2π rad (lub 360°); czasem ta nierówność jest ostra – kąt wypukły musi być mniejszy od półpełnego;	α < 180°
	zerowy	kąt utworzony przez dwie półproste pokrywające się, a tym samym im równy; jego miara jest równa 0 rad (lub 0°);	α = 0°
	ostry	kąt ściśle zawierający się w pewnym kącie prostym; ma miarę większą od 0 rad (lub 0°), lecz mniejszą od π/2 rad (lub 90°);	0° < α < 90°
	prosty	kąt przystający do kąta mającego z nim wspólne jedno tylko ramię, podczas gdy pozostałe ramiona tworzą prostą; jego miara wynosi π/2 rad (lub 90°);	α = 90°
	rozwarty	kąt ściśle zawarty w pewnym kącie półpełnym, lecz niebędący ani ostrym, ani prostym; ma miarę większą niż π/2 rad (lub 90°), lecz mniejszą niż π rad (lub 180°);	90° < α < 180°
półpełny		każdy z dwu kątów utworzonych przez dwie półproste uzupełniające się do prostej; jego miara wynosi π rad (lub 180°);	α = 180°
wklęsły		kąt, który nie jest wypukły; miara takiego kąta jest większa niż π rad (lub 180°), lecz mniejsza niż 2π rad (lub 360°).	180° < α < 360°
pełny		kąt utworzony przez dwie półproste pokrywające się i równy całej płaszczyźnie; jego miara jest równa 2π rad (lub 360°);	α = 360°

Wyjąwszy przypadek, gdy ramiona kąta uzupełniają się do prostej (oba kąty są wtedy półpełne) lub pokrywają się (jeden z kątów jest wtedy zerowy, a drugi pełny), jeden z kątów można jednoznacznie zidentyfikować jako wypukły, drugi zaś jako wklęsły (w przeciwnym przypadku oba są wypukłe); czasem możliwe jest też wyróżnienie wśród nich kąta rozwartego bądź ostrego.

Kąty wyznaczane przez proste

Dwie proste

• 
  Para $\alpha ,\beta$ kątów przyległych
• 
  Kąty $\alpha ,\beta$ są wierzchołkowe

Dowolne dwie nierównoległe proste na płaszczyźnie wyznaczają dwie pary kątów:

• pary mające wspólne ramię nazywa się kątami przyległymi;
• pary mające wspólny wyłącznie wierzchołek nazywa się wierzchołkowymi.

Suma miar kątów przyległych jest równa mierze kąta półpełnego, a miary kątów wierzchołkowych są równe.

Trzy proste współpękowe

• 
  Kąty dopełniające $\alpha ,\beta .$

Kąty mające jedno wspólne ramię, pozostałe zaś leżące pod kątem prostym, nazywa się kątami dopełniającymi. Suma ich miar jest więc równa mierze kąta prostego.

W polskiej nomenklaturze brak jest terminów opisujących związek między innymi parami kątów, obecnych jednak w innych językach, np. kątów o wspólnym jednym i tylko jednym ramieniu, czy mających wspólne dokładnie dwa ramiona

Suma miar kątów mających dokładnie jedno wspólne ramię jest równa mierze kąta wyznaczonego przez pozostałe ramiona tych kątów; suma miar kątów o dwóch wspólnych ramionach jest równa mierze kąta pełnego.

Trzy proste niewspółpękowe

• 
  Kąty naprzemianległe wewnętrzne
• 
  Kąty naprzemianległe zewnętrzne

Gdy proste $m,n$ są równoległe, zaś $t$ przecina je obie, to pary kątów oznaczone numerem o tej samej parzystości są przystające (tego samego koloru – zawsze jako wierzchołkowe)

Dowolne dwie proste $m,n$ przecięte (nierównoległą do żadnej z nich) trzecią prostą $t,$ nazywaną sieczną lub transwersalą (prostą transwersalną) wyznaczają łącznie osiem kątów wokół dwóch punktów przecięcia (por. rys. obok). Pary kątów o ramionach na ustalonej prostej $m$ lub $n$ są przyległe bądź wierzchołkowe (odpowiednio: pary różnej lub tej samej parzystości z kątów $\color {blue}1\color {black},\color {blue}2\color {black},\color {blue}3\color {black},\color {blue}4$ bądź $\color {red}5\color {black},\color {red}6\color {black},\color {red}7\color {black},\color {red}8$).

Cztery kąty leżące między prostymi $m,n$ nazywa się wewnętrznymi $(\color {blue}3\color {black},\color {blue}4\color {black},\color {red}5\color {black},\color {red}6),$ a pozostałe cztery – zewnętrznymi $(\color {blue}1\color {black},\color {blue}2\color {black},\color {red}7\color {black},\color {red}8);$ pary kątów nieprzyległych leżących po jednej stronie prostej $t$ nazywa się jednostronnymi (różnokolorowe pary z kątów $\color {blue}1\color {black},\color {blue}4\color {black},\color {red}5\color {black},\color {red}8$ bądź z kątów $\color {blue}2\color {black},\color {blue}3\color {black},\color {red}6\color {black},\color {red}7$), z kolei pary kątów nieprzyległych branych z różnych stron tej prostej nazywa się naprzemianległymi (różnokolorowe pary z kątów $\color {blue}1\color {black},\color {blue}4\color {black},\color {red}6\color {black},\color {red}7$ bądź z kątów $\color {blue}2\color {black},\color {blue}3\color {black},\color {red}5\color {black},\color {red}8$). W ten sposób wyróżnia się po dwie pary kątów:

• jednostronnych wewnętrznych ($\color {blue}3\color {black},\color {red}6$ oraz $\color {blue}4\color {black},\color {red}5$),
• jednostronnych zewnętrznych ($\color {blue}1\color {black},\color {red}8$ oraz $\color {blue}2\color {black},\color {red}7$),
• naprzemianległych wewnętrznych ($\color {blue}3\color {black},\color {red}5$ oraz $\color {blue}4\color {black},\color {red}6$),
• naprzemianległych zewnętrznych ($\color {blue}1\color {black},\color {red}7$ oraz $\color {blue}2\color {black},\color {red}8$).

Cztery pary nieprzyległych kątów jednostronnych, które nie są wewnętrzne ani zewnętrzne, nazywa się odpowiadającymi ($\color {blue}1\color {black},\color {red}5;$ $\color {blue}2\color {black},\color {red}6;$ $\color {blue}3\color {black},\color {red}7$ oraz $\color {blue}4\color {black},\color {red}8$).

Twierdzenie

Proste $m,n$ przecięte transwersalą $t$ są równoległe wtedy i tylko wtedy, gdy choć jedna para kątów wierzchołkowych bądź odpowiadających jest przystająca (równej miary).

Funkcje trygonometryczne kątów dopełniających („komplementarnych”) dany kąt nazywa się kofunkcjami: sinus kąta dopełniającego nazywa się kosinusem danego kąta, podobnie ma się rzecz z tangensem i kotangensem oraz sekansem i kosekansem. Kofunkcją dla kofunkcji danego kąta jest funkcja tego kąta, gdyż kątem dopełniającym do kąta dopełniającego dany kąt jest on sam – dlatego kofunkcją dla kosinusa, kotangensa, czy kosekansa są odpowiednio sinus, tangens i sekans. Analogiczne uwagi obowiązują dla funkcji cyklometrycznych, hiperbolicznych oraz area.

Kąty związane z okręgiem

Kąty oparte na tym samym łuku okręgu: ogólny (czarny), wpisany (niebieski), środkowy (zielony) oraz kąt dopisany (czerwony)

Dowolny kąt, który wycina z okręgu ustalony łuk, nazywa się opartym na tym łuku. Kąt, którego wierzchołek leży w środku danego okręgu, nazywa się środkowym; ponieważ okrąg jest zbiorem punktów równoodległych od jego środka, to „ilość” punktów (długość łuku) wspólna z danym kątem środkowym w stosunku do ich odległości od środka opisuje „rozmiar” tego kąta – obserwacja ta została wykorzystana do określenia miary łukowej dowolnego kąta, jak przedstawiono to wyżej. Kątem wpisanym w ustalony okrąg nazywa się dowolny kąt, którego wierzchołek leży na tym okręgu, a jego ramiona są zarazem jego siecznymi, z kolei kąt dopisany do okręgu w wybranym jego punkcie, to kąt ostry o wierzchołku w tymże punkcie, którego jedno ramię jest sieczną, a drugie – styczną wspomnianego okręgu; można go traktować jako zdegenerowany przypadek kąta wpisanego, w którym jedna z siecznych staje się styczną.

Twierdzenie o kątach wpisanych

Miary kątów wpisanych opartych na tym samym łuku są równe.

Twierdzenie o kątach środkowym i wpisanym

Miara kąta środkowego jest dwa razy większa od miary kąta wpisanego opartych na tym samym łuku.

Twierdzenie o stycznej i siecznej

Miara kąta dopisanego wycinającego dany łuk jest równa mierze kąta wpisanego opartego na tym łuku.

Uogólnienia

Definiuje się również kąty między innymi płaskimi figurami geometrycznymi niż (pół)proste: tego samego rodzaju, np. wektorami (analogicznie), krzywymi (w danym punkcie, w tym okręgami: jako kąt między stycznymi, o ile istnieją i są wyznaczone jednoznacznie).

Rozpatruje się także pojęcie kąta w przestrzeni trójwymiarowej i wielowymiarowej, np. między płaszczyznami (definiowane np. za pomocą wektorów normalnych), czy prostą i płaszczyzną (jako kąt między prostą a jej rzutem prostopadłym na płaszczyznę).

Zobacz też

• kąt wewnętrzny, kąt zewnętrzny
• kąt dwuścienny
• twierdzenie Talesa

Bibliografia

• „Encyklopedia Matematyka”, wyd. Greg, ISBN 978-83-7517-015-3 (kąt skierowany)

Linki zewnętrzne

• Agnieszka Badeńska, Kąty i ich mierzenie, Wydział Matematyki i Nauk Informacyjnych Politechniki Warszawskiej (MiNI PW), kanał „Archipelag Matematyki” na YouTube, 18 września 2017 [dostęp 2024-09-04].