Kątem przecięcia się dwóch krzywych gładkich (f(x) i g(x) ) nazywamy kąt ostry przecięcia się stycznych do danych krzywych w punkcie x0 . Tangens tego kąta dla wykresów dwóch funkcji gładkich możemy obliczyć ze wzoru:
tg
φ
=
|
f
′
(
x
0
)
−
g
′
(
x
0
)
1
+
f
′
(
x
0
)
g
′
(
x
0
)
|
{\displaystyle \operatorname {tg} \varphi =\left|{\frac {f'(x_{0})-g'(x_{0})}{1+f'(x_{0})g'(x_{0})}}\right|}
1
+
f
′
(
x
0
)
g
′
(
x
0
)
≠
0.
{\displaystyle 1+f'(x_{0})g'(x_{0})\neq 0.}
Jeżeli
1
+
f
′
(
x
0
)
g
′
(
x
0
)
=
0
⟹
φ
=
90
∘
.
{\displaystyle 1+f'(x_{0})g'(x_{0})=0\implies \varphi =90^{\circ }.}
Mamy dane 2 dowolne funkcje f (x ) oraz g (x ) przecinające się w punkcie x 0 oraz różniczkowalne w tym punkcie. Wówczas przez punkt x 0 przechodzą styczne do obydwu wykresów, tworzące pewien kąt φ. Kąt nachylenia stycznej do f (x ) nazwiemy β (kąt między styczną a osią OX), kąt nachylenia stycznej do g (x) nazwiemy α.
Styczne oraz oś OX tworzy trójkąt, w którym
α
+
(
π
−
β
)
+
φ
=
π
,
{\displaystyle \alpha +(\pi -\beta )+\varphi =\pi ,}
stąd mamy, że
φ
=
β
−
α
,
{\displaystyle \varphi =\beta -\alpha ,}
więc
tg
φ
=
tg
(
β
−
α
)
.
{\displaystyle \operatorname {tg} \varphi =\operatorname {tg} (\beta -\alpha ).}
Z prawej strony zastosujemy wzór na tangens różnicy kątów i otrzymujemy:
tg
φ
=
|
tg
β
−
tg
α
1
+
tg
β
tg
α
|
.
{\displaystyle \operatorname {tg} \varphi =\left|{\frac {\operatorname {tg} \beta -\operatorname {tg} \alpha }{1+\operatorname {tg} \beta \operatorname {tg} \alpha }}\right|.}
Wiemy również, że
tg
β
=
f
′
(
x
0
)
{\displaystyle \operatorname {tg} \beta =f'(x_{0})}
tg
α
=
g
′
(
x
0
)
.
{\displaystyle \operatorname {tg} \alpha =g'(x_{0}).}
Podstawiając do wzoru, otrzymujemy
tg
φ
=
|
f
′
(
x
0
)
−
g
′
(
x
0
)
1
+
f
′
(
x
0
)
g
′
(
x
0
)
|
.
{\displaystyle \operatorname {tg} \varphi =\left|{\frac {f'(x_{0})-g'(x_{0})}{1+f'(x_{0})g'(x_{0})}}\right|.}
