Jądro operatora całkowego

Jądro operatora całkowego – funkcja dwóch zmiennych, która występuje pod znakiem całki we wzorze określającym operator. Jądro zazwyczaj oznaczamy literą $K$ (ang. kernel).

W praktyce, sens pojęcia jądra przedstawia się następująco: chcemy zdefiniować operator całkowy ${\mathcal {T}}_{K}$ o jądrze $K,$ który przeprowadza funkcje ciągłe określone na przestrzeni $X_{1}$ w funkcje ciągłe określone na innej przestrzeni $X_{2}.$ W tym celu dobieramy funkcję ciągłą $K\colon X_{1}\times X_{2}\to \mathbb {R} ,$ którą będziemy nazywać jądrem naszego przekształcenia.

Wówczas, dla funkcji ciągłej $\varphi :X_{1}\to \mathbb {R}$ określamy wartość operatora całkowego ${\mathcal {T}}_{K}$ na tej funkcji w sposób następujący:

$({\mathcal {T}}_{K}\varphi )(x_{2})=\int \limits _{X_{1}}K(x_{1},x_{2})\varphi (x_{1})\;dx_{1},\;x_{2}\in X_{2}.$

Zatem funkcja wynikowa ${\mathcal {T}}_{K}\varphi ,$ będąca wartością operatora dla funkcji $\varphi ,$ powstaje poprzez przemnożenie $\varphi$ przez $K$ i scałkowanie względem tej ze zmiennych, od której zależy $\varphi .$

Osobną kwestią jest to, czym są $X_{1}$ oraz $X_{2}$ oraz jakie warunki musi spełniać jądro aby operator całkowy był poprawnie określony.

Zobacz też

• twierdzenie Dunforda