Izomorfizm porządków

Izomorfizm porządków – pojęcie w matematyce określające funkcję pomiędzy dwoma zbiorami uporządkowanymi pokazującą, że porządki te wyglądają tak samo. Termin ten jest również używany na określenie relacji bycia izomorficznymi porządkami.

Definicja

Niech $(X,\leqslant ),$ $(Y,\sqsubseteq )$ będą porządkami częściowymi. Powiemy, że funkcja $f\colon X\longrightarrow Y$ jest izomorfizmem porządków X i Y jeśli spełnione są dwa warunki:

• $f$ jest wzajemnie jednoznaczna
• $\forall _{x,y\in X}(x\leqslant y\iff f(x)\sqsubseteq f(y)).$

Porządki $(X,\leqslant ),$ $(Y,\sqsubseteq )$ nazywamy izomorficznymi, gdy istnieje pomiędzy nimi izomorfizm.

Własności

Niech $(X,\leqslant ),$ $(Y,\sqsubseteq )$ będą porządkami częściowymi. Jeśli porządki te są izomorficzne, to:

• zbiory $X$ i $Y$ są równej mocy (ponieważ izomorfizm jest bijekcją)
• porządki $(X,\leqslant ),$ $(Y,\sqsubseteq )$ mają taki sam diagram Hassego, tzn. muszą mieć taką samą liczbę elementów wyróżnionych: maksymalnych, minimalnych, oba muszą jednocześnie mieć lub nie mogą mieć elementu największego/najmniejszego.

Przykłady

Niech $\mathbb {N} ,\mathbb {Z} ,\mathbb {Q} ,\mathbb {R}$ oznaczają zbiory liczb naturalnych, całkowitych, wymiernych i rzeczywistych, odpowiednio, a $\leqslant$ niech będzie naturalnym porządkiem.

• Porządki $(\mathbb {N} ,\leqslant )$ i $(\mathbb {R} ,\leqslant )$ nie są izomorficzne (zbiory $\mathbb {N}$ i $\mathbb {R}$ są różnej mocy)
• Porządki $(\mathbb {N} ,\leqslant )$ i $(\mathbb {Q} ,\leqslant )$ nie są izomorficzne – co prawda zbiory są równej mocy, lecz zbiór $\mathbb {Q}$ jest gęsty, a $\mathbb {N}$ nie.
• Porządki $(\mathbb {N} ,\leqslant )$ i $(\mathbb {Z} ,\leqslant )$ nie są izomorficzne, bo w $\mathbb {N}$ 0 jest elementem najmniejszym, a w $\mathbb {Z}$ nie ma elementu najmniejszego.
• Niech $(\mathbb {P} ,\leqslant )$ będzie zbiorem wszystkich liczb pierwszych z naturalnym porządkiem. Wówczas porządki $(\mathbb {N} ,\leqslant )$ i $(\mathbb {P} ,\leqslant )$ są izomorficzne, a izomorfizmem pomiędzy nimi jest funkcja odwzorowująca liczbę naturalną n na n-tą liczbę pierwszą.