Intensywność umieralności

intensywność umieralności (natężenie wymierania, ang. force of mortality) – wielkość wyrażająca śmiertelność dla danego wieku

\mu _{x}=\lim _{\Delta x\to 0}{\frac {Pr(x<X<x+\Delta x|X>x)}{\Delta x}}.\;

Prawdopodobieństwo występujące w powyższym wzorze można wyrazić za pomocą funkcji przeżycia $s(x)$ ( $s(x)$ – prawdopodobieństwo, że noworodek dożyje wieku $x$ )

Pr(x<X<x+\Delta x|X>x)={\frac {s(x)-s(x+\Delta x)}{s(x)}}.\;

Po podstawieniu otrzymuje się

\mu _{x}=\lim _{\Delta x\to 0}{\frac {s(x)-s(x+\Delta x)}{s(x)\Delta x}}=-{\frac {s'(x)}{s(x)}}=-{\frac {d}{dx}}\ln s(x).\;

Intensywność umieralności można również wyrazić w terminach prawdopodobieństw oznaczanych w naukach aktuarialnych symbolem ${}_{t}p_{x}$ ( ${}_{t}p_{x}$ – prawdopodobieństwo, że $x$ -latek przeżyje $t$ lat)

\mu _{x+t}=-{\frac {{\frac {d}{dt}}{}_{t}p_{x}}{{}_{t}p_{x}}}=-{\frac {d}{dt}}\ln {}_{t}p_{x}\;

Bibliografia

Newton L. Bowers, Hans U. Gerber, James C. Hickman, Donald A. Jones, Cecil J. Nesbit: Actuarial mathematics. Itasca, Ill.: Society of Actuaries, 1986. ISBN 0-938959-10-7. (ang.).
Hans U. Gerber: Life insurance mathematics. Berlin: Springer-Verlag, 1990. ISBN 0-387-52944-6. (ang.).
Mariusz Skałba: Ubezpieczenia na życie. Warszawa: Wydawnictwa Naukowo-Techniczne, 1999. ISBN 83-204-2460-7. (pol.).