Hiperkula

Hiperkula – zwyczajowa nazwa uogólnienia kuli w $n$-wymiarowych przestrzeniach kartezjańskich $\mathbb {R} ^{n}.$ Tak więc hiperkulą może być nazwane zarówno dwuwymiarowe koło, jak i trój-, cztero- lub pięciowymiarowa kula; jednak pojęcia tego używa się najczęściej dla cztero- lub więcej wymiarowych kul.

Wygląd hiperkuli

Rzut na płaszczyznę siatki pokrywającej hiperkulę czterowymiarową

Wyobrażenie sobie wielowymiarowej (cztero-, pięcio-, lub więcej) hiperkuli jest trudne dla człowieka, ponieważ przestrzeń z czterema lub większą liczbą wymiarów leży poza granicami ludzkiej, trójwymiarowej percepcji. Można narysować rzut hiperkuli na płaszczyznę, lub ewentualnie skonstruować rzut na przestrzeń trójwymiarową – dostajemy jednak wówczas odpowiednio zwykłe koło i zwykłą kulę. Można też pokryć powierzchnię hiperkuli siatką (odpowiadającą siatce równoleżników i południków na kuli) i narysować jej rzut. Uzyskujemy wówczas rysunek taki jak obok.

W przypadku przekrojenia hiperkuli, w miejscu przecięcia zobaczymy kulę (analogicznie do przekrojenia kuli, gdy w miejscu przecięcia widzimy koło).

Definicja formalna

Hiperkulą o środku w punkcie $S=(s_{1},\dots ,s_{n})$ i promieniu długości $r$ nazywamy zbiór punktów przestrzeni $\mathbb {R} ^{n}$ spełniających nierówność

$(x_{1}-s_{1})^{2}+(x_{2}-s_{2})^{2}+\ldots +(x_{n}-s_{n})^{2}\leqslant r^{2}.$

Brzegiem hiperkuli jest zbiór punktów przestrzeni $\mathbb {R} ^{n}$ spełniających równanie

$(x_{1}-s_{1})^{2}+(x_{2}-s_{2})^{2}+\ldots +(x_{n}-s_{n})^{2}=r^{2}.$

Zbiór ten nazywamy hipersferą. Hipersfera będąca brzegiem kuli $n$-wymiarowej jest obiektem $(n-1)$-wymiarowym, podobnie jak brzeg dwuwymiarowego koła jest obiektem jednowymiarowym – krzywą zwaną okręgiem.

Wzory

Wzór jawny

$n$-wymiarową objętość $n$-wymiarowej hiperkuli o promieniu $r$ można obliczyć ze wzoru:

$V_{n}={\frac {\pi ^{\frac {n}{2}}}{\Gamma ({\frac {n}{2}}+1)}}\cdot r^{n}={\begin{cases}\displaystyle {\frac {\pi ^{k}}{k!}}\cdot r^{n}&{\text{dla }}n=2k,\\[2ex]\displaystyle {\frac {2^{k}\pi ^{k-1}}{n!!}}\cdot r^{n}&{\text{dla }}n=2k-1,\end{cases}}$

gdzie $\Gamma$ oznacza funkcję gamma, $\pi$ to stała matematyczna wynosząca $\pi \approx 3{,}141593,$ zaś symbol $n!!$ oznacza silnię podwójną. Wraz ze wzrostem liczby wymiarów, hiperkula wypełnia coraz mniejszą część hipersześcianu, w który jest wpisana. Stosunek ich objętości maleje do zera, gdy $n$ dąży do nieskończoności.

$(n-1)$-wymiarowa powierzchnia hiperkuli jest związana prostym wzorem z jej objętością:

$S_{n}={\frac {nV_{n}}{r}}.$

Wzór rekurencyjny

$n$-wymiarową objętość $n$-wymiarowej hiperkuli można policzyć, całkując odpowiednio $(n-1)$-wymiarową hiperkulę, przy czym 0-wymiarowa hiperkula jest punktem o objętości równej 1, co jest warunkiem brzegowym tego wzoru.

$V_{n}(r)={\begin{cases}\displaystyle 1&{\text{dla }}n=0,\\[2ex]\displaystyle \int \limits _{-r}^{r}\,V_{n-1}({\sqrt {r^{2}-x^{2}}})dx&{\text{dla }}n>0.\end{cases}}$

Dla kolejnych $n$-wymiarowych hiperkul objętość wynosi:

n	Wzór na uogólnioną objętość (Vn):
$0$	$V_{0}=1$
$1$	$V_{1}=2\cdot r$
$2$	$V_{2}=\pi \cdot r^{2}\simeq 3{,}14159265\cdot r^{2}$
$3$	$V_{3}={\frac {4}{3}}\pi \cdot r^{3}\simeq 4{,}1887902\ \cdot r^{3}$
$4$	$V_{4}={\frac {\pi ^{2}}{2}}\ \cdot r^{4}\simeq 4{,}9348022\cdot r^{4}$
$5$	$V_{5}={\frac {8\cdot \pi ^{2}}{15}}\cdot r^{5}\simeq 5{,}263789\cdot r^{5}$
$6$	$V_{6}={\frac {\pi ^{3}}{6}}\cdot r^{6}\simeq 5{,}1677128\cdot r^{6}$
$7$	$V_{7}={\frac {16\cdot \pi ^{3}}{105}}\cdot r^{7}\simeq 4{,}724766\cdot r^{7}$
$8$	$V_{8}={\frac {\pi ^{4}}{24}}\cdot r^{8}\simeq 4{,}0587121\cdot r^{8}$
$9$	$V_{9}={\frac {32\cdot \pi ^{4}}{945}}\cdot r^{9}\simeq 3{,}2985089\cdot r^{9}$
$10$	$V_{10}={\frac {\pi ^{5}}{120}}\cdot r^{10}\simeq 2{,}550164\cdot r^{10}$
$11$	$V_{11}={\frac {64\cdot \pi ^{5}}{10395}}\cdot r^{11}\simeq 1{,}8841039\cdot r^{11}$
$12$	$V_{12}={\frac {\pi ^{6}}{720}}\cdot r^{12}\simeq 1{,}3352628\cdot r^{12}$
$13$	$V_{13}={\frac {128\cdot \pi ^{6}}{135135}}\cdot r^{13}\simeq 0{,}9106288\cdot r^{13}$
$14$	$V_{14}={\frac {\pi ^{7}}{5040}}\cdot r^{14}\simeq 0{,}5992645\cdot r^{14}$
$15$	$V_{15}={\frac {256\cdot \pi ^{7}}{2027025}}\cdot r^{15}\simeq 0{,}38144328\cdot r^{15}$
$16$	$V_{16}={\frac {\pi ^{8}}{40320}}\cdot r^{16}\simeq 0{,}23533063\cdot r^{16}$
$17$	$V_{17}={\frac {512\cdot \pi ^{8}}{34459425}}\cdot r^{17}\simeq 0{,}140981107\cdot r^{17}$
$18$	$V_{18}={\frac {\pi ^{9}}{362880}}\cdot r^{18}\simeq 0{,}0821459\cdot r^{18}$
$19$	$V_{19}={\frac {1024\cdot \pi ^{9}}{654729075}}\cdot r^{19}\simeq 0{,}0466216\cdot r^{19}$
$20$	$V_{20}={\frac {\pi ^{10}}{3628800}}\cdot r^{20}\simeq 0{,}02580689\cdot r^{20}$
$2m$	$V_{2m}={\frac {\pi ^{m}}{m!}}\cdot r^{2m}$
$2m+1$	$V_{2m+1}={\frac {2^{2m+1}\cdot m!\cdot \pi ^{m}}{(2m+1)!}}\cdot r^{2m+1}$
$\infty$	$\lim _{n\to \infty }{\frac {V_{n}}{r^{n}}}\ =0$