H-kwadrat

H-kwadrat, H² – termin w matematyce i teorii sterowania odnoszący się do przestrzeni Hardy’ego z normą kwadratową. Jest to podprzesztrzeń przestrzeni L² i dlatego jest przestrzenią Hilberta. W szczególności jest przestrzenią Hilberta reprodukującą jądro.

Na okręgu jednostkowym

W ogólności, elementy L² na okręgu jednostkowym są dane przez

$\sum _{n=-\infty }^{\infty }a_{n}e^{in\varphi },$

podczas gdy elementy H² są dane wyrażeniem

$\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}e^{in\varphi }.$

Projekcja z L² do H² (poprzez podstawienie $a_{n}=0,$ gdy $n<0$) jest ortogonalna.

Na półpłaszczyźnie

Transformata Laplace’a ${\mathcal {L}}$ dana wyrażeniem:

$[{\mathcal {L}}f](s)=\int _{0}^{\infty }e^{-st}f(t)dt$

może być rozumiana jako operator liniowy

${\mathcal {L}}:L^{2}(0,\infty )\to H^{2}\left(\mathbb {C} ^{+}\right),$

gdzie $L^{2}(0,\infty )$ jest zbiorem funkcji całkowalnych z kwadratem, określonych na osi dodatnich liczb rzeczywistych, a $\mathbb {C} ^{+}$ jest prawą półpłaszczyzną płaszczyzny zespolonej. Co więcej, jest to izomorfizm, przy tym odwracalny, izometryczny i spełniający:

$\|{\mathcal {L}}f\|_{H^{2}}={\sqrt {2\pi }}\|f\|_{L^{2}}.$

Transformata Laplace’a jest połową transformaty Fouriera; z dekompozycji

$L^{2}(\mathbb {R} )=L^{2}(-\infty ,0)\oplus L^{2}(0,\infty )$

otrzymuje się dekompozycję ortogonalną $L^{2}(\mathbb {R} )$ do dwóch przestrzeni Hardy’ego.

$L^{2}(\mathbb {R} )=H^{2}\left(\mathbb {C} ^{-}\right)\oplus H^{2}\left(\mathbb {C} ^{+}\right).$

Jest to w istocie twierdzenie Paley-Wienera.

Zobacz też

• H-nieskończoność
• normy
• przestrzeń unormowana

Bibliografia

• Jonathan R. Partington, „Linear Operators and Linear Systems, An Analytical Approach to Control Theory”, London Mathematical Society Student Texts 60, (2004) Cambridge University Press, ISBN 0-521-54619-2.