Grupa wolna

Grupa wolna – grupa zawierająca podzbiór o tej własności, że każdy element grupy daje się jednoznacznie przedstawić jako iloczyn skończenie wielu elementów tego podzbioru oraz ich odwrotności (z wyłączeniem trywialnych wariantów takich jak $st^{-1}=su^{-1}ut^{-1},$ gdzie $s,t,u$ należą do takiego podzbioru).

Podzbiór grupy o powyższej własności nazywamy wolnym układem generatorów lub bazą grupy.

Definicja formalna

Równoważnie pojęcie grupy wolnej można zdefiniować następująco: grupę $F$ nazywamy wolną, gdy zawiera podzbiór $X\subseteq F$ taki, że każde przekształcenie $X$ w dowolną grupę $G$ można przedłużyć jednoznacznie do homomorfizmu $f\colon F\to G.$

Można udowodnić, że każdy taki zbiór $X$ musi być układem generatorów grupy $F,$ tzn. nie ma podgrupy $F'\subseteq F$ spełniącej $X\subseteq F'$ i $F'\neq F.$

Układem generatorów grupy jest opisany wyżej zbiór $X.$ Każde dwa układy generatorów są równoliczne – moc dowolnego z nich nazywa się rangą grupy wolnej.

Własności

Każda grupa wolna o randze większej od 1 ma nieskończenie wiele układów wolnych generatorów.
Każda grupa $G$ jest obrazem ustalonego homomorfizmu $h$ pewnej grupy wolnej $F.$
Jeżeli $H=\ker h,$ to obraz układu wolnych generatorów grupy $F$ tworzy układ generatorów grupy $G.$
Układem relacji dla tych generatorów nazywamy układ równań taki, że $f(k)=e,$ gdzie $k\in H$ są generatorami $H$ ( $e$ oznacza element neutralny grupy). Wskazanie układu generatorów i układu relacji jednoznacznie wyznacza grupę $G.$
Grupa wolna o randze większej od 1 nie jest abelowa.

Przykłady

Grupa liczb całkowitych z dodawaniem jest grupą wolną rangi 1. Jej układem wolnych generatorów jest {1} (lub {-1}).
Rozpatrzmy wszystkie skończone napisy składające się z liter $l,p,L,P$ w których nie występują pary $[l,p],[p,l],[L,P],[P,L].$ Działaniem niech będzie konkatenacja napisów z ewentualnym usunięciem zakazanych par, czyli np.:
- $llPl*Pl=llPlPl$
- $llPl*lPl=llPllPl$
- $llPp*lP=llPP$
- $llPl*pL=ll$
- $llPl*pLpp=\varnothing ,$ czyli ciąg pusty.