Granica niewłaściwa funkcji

Granica niewłaściwa funkcji – pojęcie analizy matematycznej definiowane analogicznie do granicy funkcji – w punkcie lub nieskończoności; granica niewłaściwa nie jest liczbą rzeczywistą ani zespoloną w ścisłym, skończonym sensie, lecz elementem pewnych rozszerzeń tych zbiorów. W przypadku funkcji rzeczywistych zwykle za zbiór granic przyjmuje się rozszerzenie afiniczne, to znaczy wyróżnia się dwie możliwe granice niewłaściwe: dodatnią lub ujemną. Granice niewłaściwe występują dla niektórych funkcji nieograniczonych.

Wartość bezwzględna – prosty przykład funkcji, która ma granice niewłaściwe w nieskończoności; konkretniej w obu nieskończonościach ma granicę niewłaściwą dodatnią (+∞).

Funkcja $y=1/x^{2}$ ma w zerze (punkcie $x=0$) granicę niewłaściwą dodatnią.

Funkcja odwrotności y=1/x nie ma nigdzie granic niewłaściwych, jednak ma w zerze niewłaściwe granice jednostronne – z prawej strony dodatnią, a z lewej ujemną.

Niewłaściwe granice w nieskończoności dotyczą m.in. wszystkich funkcji nieograniczonych monotonicznych. Z kolei granice niewłaściwe w punkcie definiuje się na końcach przedziałów otwartych określoności funkcji, czyli w punktach skupienia jej dziedziny spoza tej dziedziny. Punkty z granicą niewłaściwą bywają zaliczane do punktów nieciągłości funkcji, konkretniej do nieciągłości nieusuwalnych.

Definicje Heinego

Definicje sformułowane przez Heinego.

Definicja Heinego granicy właściwej funkcji w nieskończoności

Niech funkcja $f$ będzie określona na przedziale $(a,\infty ),$ $-\infty \leqslant a<\infty .$ Liczba $g$ jest granicą właściwą funkcji $f$ w $\infty ,$ co zapisujemy

$\lim _{x\to \infty }f(x)=g$

wtedy i tylko wtedy, gdy

$\forall {(x_{n})}\forall {(x_{n})\subset (a,\infty )}[(\lim _{n\to \infty }x_{n}=\infty )\to (\lim _{n\to \infty }f(x_{n})=g)].$

Definicja Heinego granicy właściwej funkcji w minus nieskończoności

Niech funkcja $f$ będzie określona na przedziale $(-\infty ,a),$ $-\infty \leqslant a<\infty .$ Liczba $g$ jest granicą właściwą funkcji $f$ w $-\infty ,$ co zapisujemy

$\lim _{x\to {-\infty }}f(x)=g$

wtedy i tylko wtedy, gdy

$\forall {(x_{n})}\forall {(x_{n})\subset (-\infty ,a)}[(\lim _{n\to \infty }x_{n}=-\infty )\to (\lim _{n\to \infty }f(x_{n})=g)].$

Definicja Heinego granicy niewłaściwej funkcji w nieskończoności

Niech funkcja $f$ będzie określona na przedziale $(a,\infty ),$ $-\infty \leqslant a<\infty .$ Funkcja $f$ ma w $\infty$ granicę niewłaściwą $\infty ,$ co zapisujemy

$\lim _{x\to \infty }f(x)=\infty$

wtedy i tylko wtedy, gdy

$\forall {(x_{n})}\forall {(x_{n})\subset (a,\infty )}[(\lim _{n\to \infty }x_{n}=\infty )\to (\lim _{n\to \infty }f(x_{n})=\infty )].$

Definicja Heinego granicy niewłaściwej funkcji w minus nieskończoności

Niech funkcja $f$ będzie określona na przedziale $(-\infty ,a),$ $-\infty \leqslant a<\infty .$ Funkcja $f$ ma w $-\infty$ granicę niewłaściwą $\infty ,$ co zapisujemy

$\lim _{x\to {-\infty }}f(x)=\infty$

wtedy i tylko wtedy, gdy

$\forall {(x_{n})}\forall {(x_{n})\subset (-\infty ,a)}[(\lim _{n\to \infty }x_{n}=-\infty )\to (\lim _{n\to \infty }f(x_{n})=\infty )].$

Definicja Heinego granicy niewłaściwej i ujemnej funkcji w nieskończoności

Niech funkcja $f$ będzie określona na przedziale $(a,\infty ),$ $-\infty \leqslant a<\infty .$ Funkcja $f$ ma w $\infty$ granicę niewłaściwą $-\infty ,$ co zapisujemy

$\lim _{x\to \infty }f(x)=-\infty$

wtedy i tylko wtedy, gdy

$\forall {(x_{n})}\forall {(x_{n})\subset (a,\infty )}[(\lim _{n\to \infty }x_{n}=\infty )\to (\lim _{n\to \infty }f(x_{n})=-\infty )].$

Definicja Heinego granicy niewłaściwej i ujemnej funkcji w minus nieskończoności

Niech funkcja $f$ będzie określona na przedziale $(-\infty ,a),$ $-\infty \leqslant a<\infty .$ Funkcja $f$ ma w $-\infty$ granicę niewłaściwą $-\infty ,$ co zapisujemy

$\lim _{x\to {-\infty }}f(x)=-\infty$

wtedy i tylko wtedy, gdy

$\forall {(x_{n})}\forall {(x_{n})\subset (-\infty ,a)}[(\lim _{n\to \infty }x_{n}=-\infty )\to (\lim _{n\to \infty }f(x_{n})=-\infty )].$

Linki zewnętrzne

• Jarosław Woźniak, Aneta Rogalska, Granica niewłaściwa funkcji w punkcie, Zintegrowana Platforma Edukacyjna, zpe.gov.pl [dostęp 2023-08-19].
• Rafał Czyż, Leszek Gasiński, Marta Kosek, Jerzy Szczepański, Halszka Tutaj-Gasińska, Analiza matematyczna 1, wykład 5: Obliczanie granic, 3. Arytmetyka granic niewłaściwych, wazniak.mimuw.edu.pl, 3 października 2021 [dostęp 2023-08-19].
• Szymon Charzyński, nagrania na kanale Khan Academy Po Polsku na YouTube [dostęp 2023-08-19]:
  • Wprowadzenie do granic niewłaściwych, 27 marca 2022.
  • Granice niewłaściwe i asymptoty, 4 kwietnia 2022.
  • Granice niewłaściwe funkcji wymiernych, 2 maja 2017.