Graf przepływu sygnałów

Graf przepływu sygnałów (graf sygnałowy, graf Masona, ang. signal flow graph, signal flow diagram) – szczególny typ diagramu blokowego – i graf skierowany – składający się z węzłów i gałęzi. W teorii sterowania obok schematu blokowego drugie dogodne narzędzie graficznego opisu złożonych układów regulacji.

Przykładowy graf sygnałowy dla wzmacniacza z wzmocnieniem asymptotycznym.

Wstęp

Graf przepływu sygnałów układu jest siecią połączonych punktów zwanych węzłami; węzły są połączone liniami zwanymi gałęziami, które posiadają określony zwrot. Sygnały przenoszone są wzdłuż gałęzi jedynie w kierunku strzałki zwrotu.

Węzły są zmiennymi zbioru liniowych relacji algebraicznych. Graf ten może reprezentować tylko mnożenia i dodawania. Mnożenia przedstawione jako wagi gałęzi, dodawania przedstawione są jako wielokrotne gałęzie wchodzące w jeden węzeł. Graf przepływu sygnałów ma związek jeden na jeden z układem równań liniowych.

Niech dany będzie układ liniowy opisany równaniami:

$y_{j}=\sum _{k=1}^{m}a_{kj}x_{k},$

gdzie $y_{j}$ i $x_{k}$ to zmienne układów a $a_{kj}$ to funkcja przejścia opisująca wkład zmiennej $x_{k}$ do wartości zmiennej $y_{j}.$

Jeśli poszczególne zmienne układu przypisze się węzłom, a funkcje przejścia gałęziom to wówczas układ liniowy opisywany powyższym równaniem można przedstawić w postaci grafu przepływu sygnałów:

Grafy przepływu sygnałów zwykle używają zakrzywione linie, które reprezentują przewody i układy w miejsce odpowiednio: linii o prostych kątach i bloków (jak ma to miejsce w przypadku schematów blokowych). Każdej zakrzywionej linii przypisuje się wartość mnożnika – może to być stała wartość wzmocnienia lub cała transmitancja. Sygnały przepływają od jednego końca linii do drugiego i linie, które są zestawione ze sobą szeregowo mają całkowitą wartość mnożnika równy obu wartościom linii pomnożonym przez siebie (tak jak na schematach blokowych).

Podstawowe własności

• Węzły reprezentują zmienne układu. Zwykle są one uporządkowane od lewej do prawej co odwzorowuje następstwo przyczyn i skutków.
• Gałąź skierowana od węzła $x_{k}$ do węzła $y_{j}$ przedstawia zależność zmiennej $y_{j}$ od zmiennej $x_{k},$ ale nie odwrotnie.
• Sygnały przemieszczają się wzdłuż gałęzi jedynie w kierunku określonym przez strzałki gałęzi.
• Sygnał $x_{k}$ przechodząc wzdłuż gałęzi pomiędzy węzłami $x_{k}$ i $y_{j}$ jest mnożony przez transmitancję gałęzi $a_{kj},$ a więc do węzła $y_{j}$ dochodzi sygnał $a_{kj}x_{k}.$

Często używane terminy

• węzeł wejściowy (źródło) – węzeł taki posiada tylko gałęzie wychodzące;
• węzeł wyjściowy (ściek) – taki węzeł ma tylko gałęzie wchodzące choć bywa, że ten formalny warunek nie jest spełniony – aby go spełnić trzeba wprowadzić dodatkową gałąź o jednostkowej transmitancji i dodatkową zmienną;
• ścieżka – to dowolne, ciągłe, jednokierunkowe następstwo gałęzi ułożone w kierunku wskazanym przez zwroty gałęzi;
• ścieżka w przód (czyli główna) – to ścieżka od węzła wejściowego do wyjściowego, wzdłuż której żaden z węzłów nie pojawia się więcej niż raz;
• ścieżka sprzężenia zwrotnego (pętla) – to ścieżka, która rozpoczyna się i kończy się w tym samym węźle i wzdłuż której żaden inny węzeł nie pojawia się więcej niż jeden raz; mówi się, że ścieżki stykają się jeśli współdzielą węzeł albo linię;
• wzmocnienie ścieżki – to iloczyn transmitancji (wzmocnień) gałęzi występujących w ścieżce;
• wzmocnienie pętli – iloczyn wszystkich transmitancji (wzmocnień) gałęzi tworzących daną pętlę.

Reguły algebry grafów

• Dodawanie
  • Wartość zmiennej reprezentowanej przez węzeł jest równa sumie wszystkich sygnałów wchodzących do węzła.
  • Wartość zmiennej reprezentowanej przez dowolny węzeł jest przekazywana przez wszystkie gałęzie opuszczające węzeł.
• Mnożenie
  • Ciąg połączeń gałęzi z transmitancjami $a_{12},a_{23},...,a_{(n-1)n}$ można zastąpić jedną gałęzią z wzmocnieniem równym iloczynowi $a_{12},a_{23},...,a_{(n-1)n}.$

Zastosowania

Grafy przepływu sygnałów są szczególnie użyteczne z uwagi na to, że pozwalają na zastosowanie metod szczególnych takich jak reguła Masona. Pozwalają na identyfikację w układzie struktur zwanych pętlami, które można następnie analizować oddzielnie by określić całkowitą odpowiedź układu.

Graf przepływowy może też być wykorzystywany do przedstawienia przepływu sygnałów w układzie fizycznym na przykład może przedstawiać związek przyczyny i skutku.

Rys historyczny

Grafy przepływowe sygnałów zostały wprowadzone przez amerykańskiego inżyniera elektronika Samuela Jeffersona Masona (1921–1974). Tematowi temu była poświęcona jego rozprawa doktorska z 1952 roku.