Gauson

Gauson (ang. Gausson) – soliton będący rozwiązaniem równania Schrödingera z nieliniowością logarytmiczną opisującego cząstkę kwantową w możliwej nieliniowej mechanice kwantowej.

Niech nieliniowe równanie Schrödingera w jednym wymiarze będzie dane przez $(\hbar =1){:}$

$\mathrm {i} {\frac {\partial \psi }{\partial t}}=-{\frac {1}{2}}{\frac {\partial ^{2}\psi }{\partial x^{2}}}-a\ln |\psi |^{2}\psi .$

Zakłada się tzw. niezmienniczość Galileusza, tzn.

$\psi (x,t)=\mathrm {e} ^{-\mathrm {i} Et}\psi (x-kt).$

Podstawiając

$y=x-kt,$

pierwsze równanie można zapisać jako:

$-{\frac {1}{2}}\left({{\frac {\partial \psi }{\partial y}}+\mathrm {i} k}\right)^{2}-a\ln |\psi |^{2}\psi =\left(E+{\frac {k^{2}}{2}}\right)\psi .$

Ponadto podstawiając

$\Psi (y)=\mathrm {e} ^{-\mathrm {i} ky}\psi (y)$

i zakładając

$\Psi (y)=N\mathrm {e} ^{-\omega y^{2}/2},$

otrzymuje się zwykłe równanie Schrödingera dla oscylatora harmonicznego:

$-{\frac {1}{2}}{\frac {\partial ^{2}\Psi }{\partial y^{2}}}+a\omega y^{2}\Psi =\left(E+{\frac {k^{2}}{2}}+N^{2}a\right)\Psi .$

Rozwiązaniem jest więc stan podstawowy oscylatora harmonicznego, jeśli tylko $(a>0){:}$

$a\omega =\omega ^{2}/2$

lub

$\omega =2a.$

Pełne rozwiązanie solitonowe jest więc dane przez:

$\psi (x,t)=\mathrm {e} ^{-\mathrm {i} Et}\mathrm {e} ^{\mathrm {i} k{(x-kt)}}\mathrm {e} ^{-a({x-kt})^{2}},$

gdzie:

$E=a(1-N^{2})-k^{2}/2.$

Rozwiązanie to opisuje soliton poruszający się ze stałą prędkością $k$ i niezmieniający kształtu funkcji Gaussa.