Funkcje lemniskaty

Funkcje lemniskaty – szczególny przykład funkcji eliptycznych, powstających przez odwrócenie całki eliptycznej

$z=\int \limits _{0}^{u}{\frac {dt}{\sqrt {1-t^{4}}}}.$

Całki te pojawiły się po raz pierwszy przy obliczeniu długości łuku lemniskaty Bernoulliego w pracach G. Fagnano z 1715 roku. Funkcje lemniskaty wprowadził Carl Friedrich Gauss w 1797 roku.

Są dwie funkcje lemniskaty:

$u=\operatorname {coslemn} z=\operatorname {cl} z,$

$u=\operatorname {sinlemn} z=\operatorname {sl} z=\operatorname {cl} \left({{\frac {\omega }{2}}-z}\right),$

gdzie:

${\frac {\omega }{2}}=\int \limits _{0}^{1}{\frac {dt}{\sqrt {1-t^{4}}}}={\frac {\sqrt {2}}{8{\sqrt {\pi }}}}\left[\Gamma \left({\frac {1}{4}}\right)\right]^{2}$.