Funkcje eliptyczne Weierstrassa

Funkcje eliptyczne Weierstrassa (funkcje $\wp$) to ważna klasa funkcji eliptycznych, które mają fundamentalne znaczenie w wielu obszarach matematyki, takich jak geometria algebraiczna, teoria liczb i teoria równań różniczkowych. Funkcje te są zdefiniowane jako podwójnie okresowe funkcje zespolone, co oznacza, że są okresowe względem dwóch niezależnych kierunków na płaszczyźnie zespolonej. Funkcje tej klasy nazywa się także $\wp$-funkcjami, gdzie symbol $\wp$ jest wyjątkowo fantazyjną literą p.

Podstawową dziedziną funkcji eliptycznej jest równoległobok okresowości zawarty w jej siatce okresowej.

Funkcje te zostały wprowadzone przez Karla Weierstrassa.

Definicja funkcji eliptycznej Weierstrassa

Równoległobok, którego przeciwległe boki są zidentyfikowane

Funkcja eliptyczna Weierstrassa $\wp (z)$ jest zdefiniowana przy użyciu rozkładu na ułamki proste za pomocą sumy nieskończonej:

$\wp (z;\omega _{1},\omega _{2})={\frac {1}{z^{2}}}+\sum _{\omega \in \Lambda \setminus \{0\}}\left({\frac {1}{(z-m\omega _{1}-n\omega _{2})^{2}}}-{\frac {1}{(m\omega _{1}+n\omega _{2})^{2}}}\right)$

gdzie:

• $z$ to zmienna zespolona
• $\omega _{1}$ i $\omega _{2}$ to dwie ustalone liczby zespolone takie że ${\text{Im}}({\tfrac {\omega _{2}}{\omega _{1}}})>0$; nadają funkcji dwa niezależne okresy
• $\Lambda$ to kratka (ang. lattice), czyli zbiór punktów postaci $\omega =m\omega _{1}+n\omega _{2}$, gdzie $m,n\in \mathbb {C}$ (są to liczby całkowite)

czyli sumowanie przebiega po wszystkich parach liczb całkowitych $m,n\in \mathbb {C}$ z wyjątkiem punktu $(0,0)$.

Własności p-funkcji

Funkcja eliptyczna Weierstrassa $\wp$ z widocznymi periodycznymi zmianami i siecią $\Lambda =\mathbb {Z} +e^{2\pi i/6}\mathbb {Z}$. Białe pola odpowiadają biegunom, czarne zerom funkcji.

(1) Parzystość (podwójna): $\wp (-z)=\wp (z)$

(2) Podwójna okresowość: Funkcja $\wp (z)$ ma dwa niezależne okresy $\omega _{1}$ i $\omega _{2}$, co oznacza, że:

$\wp (z+\omega _{1})=\wp (z)$

$\wp (z+\omega _{2})=\wp (z)$

dla dowolnych liczb zespolonych $z$.

(3) Bieguny: Funkcja $\wp (z)$ ma bieguny rzędu 2 w punkcie $z=0$ oraz w punktach przesuniętych o okresy (tj. dla $z=m\omega _{1}+n\omega _{2}$).

Funkcja $\wp '$ - pochodna funkcji $\wp$ - ma identyczną periodyczność. Białe pola odpowiadają biegunom, czarne zerom funkcji.

(4) Równanie różniczkowe: Funkcja $w=\wp (z)$ spełnia równanie różniczkowe:

${\Big (}{\frac {dw}{dz}}{\Big )}^{2}=4w^{3}-g_{2}w-g_{3}=4(w-e_{1})(w-e_{2})(w-e_{3})$

gdzie:

• $e_{1}=\wp {\Big (}{\tfrac {w_{1}}{2}}{\Big )}\,,\quad$$e_{2}=\wp {\Big (}{\tfrac {w_{1}+w_{2}}{2}}{\Big )}\,,\quad$$e_{3}=\wp {\Big (}{\tfrac {w_{2}}{2}}{\Big )}$
• $e_{1}+e_{2}+e_{3}=0\,,\quad$$e_{1}e_{2}+e_{1}e_{3}+e_{2}e_{3}=-{\tfrac {1}{4}}g_{2}\,,\quad$$e_{1}e_{2}e_{3}={\tfrac {1}{4}}g_{3}$

Parametry $g_{2}$ i $g_{3}$ zależą od okresów $\omega _{1}$ i $\omega _{2}$; nazywa się je niezmiennikami Weierstrassa. Słuszna jest zależność

$\wp (z;\omega _{1},\omega _{2})=m^{2}\wp (mz;{\tfrac {g_{2}}{m^{4}}},{\tfrac {g_{3}}{m^{6}}})\quad$gdzie $m^{2}={\tfrac {g_{3}}{g_{2}}}$

Rozwinięcia w szeregi

Wizualizacja funkcji $\wp$ z niezmiennikami $g_{2}=1+i$ oraz$g_{3}=2-3i$. Białe pola odpowiadają biegunom, czarne zerom funkcji.

Funkcja Weierstrassa $\wp (z;\omega _{1},\omega _{2})$ można dla $0<|z|<\min(\omega _{1},\omega _{2})$ przedstawić w postaci szeregów zależnych od $\omega _{1}$ i $\omega _{2}$

$\wp (z,\omega _{1},\omega _{2})={\tfrac {1}{z^{2}}}+{\tfrac {g_{2}}{20}}z^{2}+{\tfrac {g_{3}}{28}}z^{4}+{\tfrac {g_{2}^{2}}{1200}}z^{6}+{\tfrac {3g_{2}g_{3}}{6160}}z^{8}+\cdots$$={\tfrac {1}{z^{2}}}+\sum _{k=2}^{\infty }a_{k}z^{2k-2}$

gdzie:

• $a_{2}=g_{2}/20,\,$$a_{3}=g_{3}/28$, $a_{k}={\tfrac {3}{(k-3)(2k+1)}}(a_{2}a_{k-2}+a_{3}a_{k-3}+\cdots +a_{k-2}a_{2})$ dla $k\geq 4$
• $g_{2}(\omega _{1},\omega _{2})=60\sum _{m,n,\,m^{2}+n^{2}\neq 0}{\tfrac {1}{(m\omega _{1}+n\omega _{2})^{4}}}={\Big (}{\frac {2\pi }{\omega _{2}}}{\Big )}^{4}{\Big (}{\frac {1}{12}}+20\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {k^{5}q^{2k}}{1-q^{2k}}}{\Big )}$
• $g_{3}(\omega _{1},\omega _{2})=140\sum _{m,n,\,m^{2}+n^{2}\neq 0}{\tfrac {1}{(m\omega _{1}+n\omega _{2})^{6}}}={\Big (}{\frac {2\pi }{\omega _{2}}}{\Big )}^{6}{\Big (}{\frac {1}{216}}-{\frac {7}{3}}\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {k^{5}q^{2k}}{1-q^{2k}}}{\Big )}$
  • gdzie $q=e^{i\pi \omega _{1}/\omega _{2}}$

Funkcja odwrotna do p-funkcji

Funkcją odwrotną do funkcji Weierstrassa jest całka eliptyczna Weierstrassa pierwszego rodzaju, o parametrach $g_{2},g_{3}$, dana wzorem

$z(w;g_{2},g_{3})=\int \limits _{w}^{\infty }{\frac {dt}{\sqrt {4t^{3}-g_{2}t-g_{3}}}}$

Przy tym punkty $w=e_{1},e_{2},e_{3}$ oraz $w=\infty$ są punktami rozgałęzienia tej funkcji odwrotnej.

Inne funkcje powiązane z p-funkcją:

• Pochodna funkcji Weierstrassa: $\wp '(z)$, która jest również funkcją eliptyczną, ale ma biegun rzędu 3 w punkcie $z=0$.
• Niezmienniki: $g_{2}$ i $g_{3}$ są stałymi zależnymi od okresów kratki i pełnią ważną rolę w analizie funkcji eliptycznych.

Twierdzenie (o tworzeniu funkcji eliptycznych)

Tw. Każda funkcja eliptyczna $f(z)$ o okresach $\omega _{1}$ i $\omega _{2}$ może być utworzona z funkcji $\wp (z;\omega _{1},\omega _{2})$oraz $\wp '(z;\omega _{1},\omega _{2})$ w postaci

$f(z)=R_{1}[\wp (z)]+\wp '(z)R_{2}[\wp (z)]$

gdzie $R_{1},R_{2}$ są funkcjami wymiernymi, a funkcja $\wp '(z)$ jest funkcją eliptyczną nieparzystą rzędu 3

Powiązanie z krzywymi eliptycznymi

Funkcja $\wp (z)$ jest związana z krzywymi eliptycznymi. Równanie różniczkowe dla $\wp (z)$ można traktować jako równanie krzywej eliptycznej w postaci:

$y^{2}=4x^{3}-g_{2}x-g_{3}$

Tutaj $\wp (z)$ odgrywa rolę zmiennej $x$, a $\wp '(z)$ odpowiada $y$.

Zastosowania funkcji eliptycznych Weierstrassa

• w teorii krzywych eliptycznych i geometrii algebraicznej.
• w teorii równań różniczkowych (szczególnie w rozwiązaniach równań nieliniowych, takich jak równanie Kortewega–de Vriesa).
• w matematyce teoretycznej, np. w teorii liczb i analizie zespolonej.

Zobacz też

• funkcje eliptyczne
• funkcje eliptyczne Jacobiego
• całki eliptyczne

Bibliografia

• G. A. Korn, T. M. Korn: Matematyka dla pracowników naukowych i inżynierów, cz. 2. Warszawa: PWN, 1983, s. 284-286.

Linki zewnętrzne

• Funkcja eliptycznych Weierstrassa na WolframAlpha