Funkcja jednostajnie ciągła

Jednostajna ciągłość – własność funkcji określonych między przestrzeniami metrycznymi będąca wzmocnieniem pojęcia ciągłości.

Właściwość została zdefiniowana w dziewiętnastym wieku. W 1854 Dirichlet zdefiniował teorię w jednym z wykładów, że funkcja ciągła na domkniętym przedziale jest jednostajnie ciągła, co udowodnił Heine w 1872 roku.

Definicje

Niech $(X,\varrho )$ i $(Y,\sigma )$ będą przestrzeniami metrycznymi oraz niech $f\colon X\to Y.$ Funkcję $f$ nazywamy jednostajnie ciągłą, gdy:

• dla każdego $\varepsilon >0$ istnieje takie $\delta >0,$ że dla wszelkich $x_{1},x_{2}\in X$ zachodzi nierówność $\sigma (f(x_{1}),f(x_{2}))<\varepsilon ,$ o ile tylko $\varrho (x_{1},x_{2})<\delta .$ Formalnie:

$\forall _{\varepsilon >0}\;\exists _{\delta >0}\;\forall _{x_{1},x_{2}\in X}\;\varrho (x_{1},x_{2})<\delta \Rightarrow \sigma (f(x_{1}),f(x_{2}))<\varepsilon .$

Powyższa charakteryzacja typu Cauchy’ego ma też swój odpowiednik typu Heinego:

• dla dowolnych dwóch ciągów $(x_{n})_{n=1}^{\infty },(y_{n})_{n=1}^{\infty }$ zachodzi:

$\varrho (x_{n},y_{n})\to 0\Rightarrow \sigma (f(x_{n}),f(y_{n}))\to 0.$

Jeżeli przestrzenią metryczną jest zbiór liczb rzeczywistych $\mathbb {R}$ ze standardową metryką euklidesową $\varrho (a,b):=|a-b|,$ dla $a,b\in \mathbb {R} ,$ to jednostajną ciągłość funkcji $f\colon I\to \mathbb {R} ,$ gdzie $I\subset \mathbb {R}$ jest przedziałem liczb rzeczywistych, można formalnie zapisać

$\forall _{\varepsilon >0}\;\exists _{\delta >0}\;\forall _{x_{1},x_{2}\in I}\;|x_{1}-x_{2}|<\delta \Rightarrow |f(x_{1})-f(x_{2})|<\varepsilon .$

Własności funkcji jednostajnie ciągłych

Warunki konieczne (konsekwencje)

• Każda funkcja jednostajnie ciągła jest ciągła.

Dowód. Jeśli $f\colon X\to Y$ jest odwzorowaniem między dwiema przestrzeniami metrycznymi $(X,\varrho )$ i $(Y,\sigma ),$ to ciągłość $f$ oznacza, że dla każdego punktu $x\in X$ i każdego $\varepsilon >0$ takie istnieje $\delta _{x,\varepsilon }>0$ (indeks dolny przy $\delta$ oznacza, że liczba ta zależy od $x$ i $\varepsilon$) taka, że obraz $f(K(x,\delta _{x,\varepsilon }))$ kuli $K(x,\delta _{x,\varepsilon })$ o środku $x$ i promieniu $\delta _{x,\varepsilon }$ zawiera się w kuli o środku $f(x)$ i promieniu $\varepsilon .$ Jednostajna ciągłość $f$ oznacza, że dla każdego $\varepsilon >0$ istnieje takie $\delta _{\varepsilon }>0,$ że obraz $f(K)$ dowolnej kuli $K$ o promieniu $\delta _{\varepsilon }$ zawiera się w kuli o promieniu $\varepsilon .$ Jednostajna ciągłość to zatem warunek silniejszy niż ciągłość.

• Jeśli $(x_{n})$ jest ciągiem Cauchy’ego elementów przestrzeni $X$ oraz $f\colon X\to Y$ jest jednostajnie ciągła, to ciąg $(f(x_{n}))$ jest ciągiem Cauchy’ego w przestrzeni $Y.$

Dowód. Niech $\varepsilon >0.$ Na mocy jednostajnej ciągłości $f\colon X\to Y$ istnieje taka liczba $\delta >0,$ że dla dowolnych $x,y\in X$ spełniających warunek $\varrho (x,y)<\delta$ zachodzi oszacowanie $\sigma (f(x),f(y))<\varepsilon .$ Skoro $(x_{n})$ jest ciągiem Cauchy’ego, to istnieje taka liczba naturalna $N,$ że dla $n,k\geqslant N$ zachodzi $\varrho (x_{n},x_{k})<\delta ,$ a zatem $\sigma (f(x_{n}),f(x_{k}))<\varepsilon$ dla $n,k\geqslant N.$ Dowodzi to, że ciąg $(f(x_{n}))$ jest ciągiem Cauchy’ego w przestrzeni $Y.$ $_{\square }$

Twierdzenie to jest kryterium pozwalającym sprawdzić, czy dana funkcja nie jest jednostajnie ciągła. Np. niech $f\colon (0,2)\to \mathbb {R}$ będzie funkcją daną wzorem $f(x)=1/x.$ Wówczas ciąg $(1/n)$ jest ciągiem Cauchy’ego, jednak $f(1/n)=n,$ czyli ciąg $(f(1/n))$ nie jest ciągiem Cauchy’ego w $\mathbb {R} .$ Wobec powyższego $f$ nie jest jednostajnie ciągła.

• Niech $(X,\varrho )$ będzie całkowicie ograniczoną przestrzenią metryczną (np. $X$ jest ograniczonym przedziałem liczb rzeczywistych). Wówczas każda funkcja jednostajnie ciągła $f\colon X\to \mathbb {C}$ jest ograniczona.

Dowód. Dla $\varepsilon =1$ niech $\delta >0$ będzie takie, iż dla dowolnych $x,y\in X$ spełniających warunek $\varrho (x,y)<\delta$ zachodzi oszacowanie $|f(y)-f(x)|<1.$ Niech $K_{1},K_{2},\dots ,K_{n}$ będzie ciągiem kul otwartych o promieniu $\delta ,$ których suma jest równa $X.$ Niech $x_{i}$ będzie środkiem $K_{i}(i\leqslant n).$ Niech $M=\max\{|f(x_{i})|\colon i\leqslant n\}.$

Ustalmy $y\in X.$ Wówczas $y\in K_{i_{y}}$ dla pewnego $i_{y}\leqslant n.$ Ostatecznie

$|f(y)|=|f(y)-f(x_{i_{y}})+f(x_{i_{y}})|\leqslant 1+M,$

co dowodzi ograniczoności $f.$ $_{\square }$

Warunki wystarczające

• Każda funkcja spełniająca warunek Lipschitza jest jednostajnie ciągła.

Dowód. Niech $f\colon X\to Y$ będzie funkcją spełniającą warunek Lipschitza ze stałą $L.$ Niech $x_{1},x_{2}\in X$ oraz niech dany będzie $\varepsilon >0.$ Gdy $\delta =\varepsilon /L,$ to $\sigma (f(x_{1}),f(x_{2}))\leqslant L\cdot \varrho (x_{1},x_{2})\leqslant L\cdot \varepsilon /L=\varepsilon ,$ o ile tylko $\varrho (x_{1},x_{2})\leqslant \delta .$ $_{\square }$

• Funkcja jednostajnie ciągła, która nie spełnia warunku Lipschitza to np. pierwiastek $f(x)={\sqrt {x}}$ na przedziale $[0,1].$

• Każda funkcja ciągła na przestrzeni zwartej jest jednostajnie ciągła (twierdzenie Heinego-Cantora).

• W szczególności, każda funkcja określona i ciągła na przedziale domkniętym [$a,b$] jest jednostajnie ciągła. Na przedziale otwartym już tak nie musi być, na przykład funkcja $f(x)=1/x$ na przedziale (0, 1) jest ciągła, ale nie jest jednostajnie ciągła. Jeśli jednak granice funkcji na otwartych końcach przedziału istnieją, to na takim przedziale funkcja również będzie jednostajnie ciągła.

Uogólnienie na przestrzenie liniowo-topologiczne

Niech $U,V$ będą przestrzeniami liniowo-topologicznymi. Mówimy, że odzworowanie $f\colon U\longrightarrow V$ jest jednostajnie ciągłe, jeśli:

dla każdego otoczenia $B$ zera przestrzeni $V$ istnieje otoczenie $A$ zera przestrzeni $U$ takie, że dla każdych $v_{1},v_{2}\in A$ zachodzi: $v_{1}-v_{2}\in A\Rightarrow f(v_{1})-f(v_{2})\in B.$

Bibliografia

• Hans Niels Jahnke: A history of analysis. Providence, RI: American Mathematical Society, 2003. ISBN 0-8218-2623-9. OCLC 51607350.

Literatura dodatkowa

• J.B. Conway, Functions of One Complex Variable I (Graduate Texts in Mathematics 11). Springer-Verlag. ISBN 0-387-90328-3, s. 25–28.
• S.C. Malik, Principles of Real Analysis, New Age International, 1982, s. 127–129.
• Kazimierz Kuratowski, Rachunek różniczkowy i całkowy, Wydawnictwo Naukowe PWN, Warszawa 2020.
• Wojciech Kryszewski, Wykład analizy matematycznej, cz. 1: Funkcje jednej zmiennej, Wydawnictwo Naukowe UMK, 2009. ISBN 978-83-231-2352-1.

Linki zewnętrzne

• Eric W.E.W. Weisstein Eric W.E.W., Uniformly Continuous, [w:] MathWorld, Wolfram Research  (ang.). [dostęp 2023-02-07].
• Uniform continuity (ang.), Encyclopedia of Mathematics, encyclopediaofmath.org [dostęp 2023-02-07].