Element rozdzielczy

Element rozdzielczy – element algebraiczny, którego wielomian minimalny ma wyłącznie pierwiastki jednokrotne.

Element $a$ należący do ciała $L$ zawierającego ciało $K,$ algebraiczny nad tym $K,$ jest elementem rodzielczym względem $K,$ jeżeli jest pierwiastkiem wielomianu nierozkładalnego należącego do $K[x]$ o niezerowej pochodnej^[1].

W przypadku rozszerzeń ciał mówić można o elementach algebraicznych i przestępnych. Rozszerzając wyjściowe ciało $K$ o pewien element $a$ ciała $L,$ takiego, że $K\subset L,$ zajść mogą dwie sytuacje^[2]:

element ten może być pierwiastkiem pewnego niezerowego wielomianu o współczynnikach wziętych z $K,$ tzn. $\exists f\in K[x]:f\neq 0\land f(x)=0$ – w takim wypadku określa się $a$ mianem elementu algebraicznego
element ten nie jest pierwiastkiem żadnego wielomianu z $K[x]$ z wyjątkiem wielomianu zerowego – mówi się o elemencie przestępnym^[2].

Każdy element rozdzielczy jest algebraiczny^[1], a więc istnieje niezerowy wielomian $f$ z pierścienia wielomianów $K[x],$ który przyjmuje po podstawieniu $a$ wartość $0$ ^[2]. Elementy algebraiczne nad ciałem $K$ można w dalszym ciągu pogrupować. W ich klasyfikacji istotne znaczenie będą miały właściwości samego $K,$ w szczególności jego charakterystyka^[1]. Otóż dowodzi się, że iloczyn wszystkich podciał danego ciała $K$ również sam stanowi ciało^[3], nazywane podciałem prostym. Dowodzi się dalej, że jest ono izomorficzne albo z ciałem liczb wymiernych, albo z ciałem p-elementowym, czyli takim, którego liczba elementów jest liczbą pierwszą. W pierwszym przypadku przyjmuje się, że charakterystyka danego ciała wynosi 0, w drugim – przypisuje się wartość rzeczonej liczby pierwszej^[1].

W przypadku ciała $K$ o zerowej charakterystyce każdy element $a$ algebraiczny nad $K$ jest zarazem względem $K$ rozdzielczy^[1]. Jeżeli bowiem $a\neq 0,$ to dla każdego niezerowego wielomianu stopnia $0$ jego wartość nie będzie równa $0.$ $a$ musi więc być pierwiastkiem wielomianu o stopniu wyższym niż $0,$ stopnia przynajmniej pierwszego^[1]. Korzystając zaś z wzoru na pochodną wielomianu dla kolejnych jednomianów $(a_{n}x^{n})'=na_{n}x^{n-1}$ ^[4], wielomiany takie nie będą miały zerowej pochodnej^[5].

Sytuacja komplikuje się w przypadku ciał o niezerowej charakterystyce. Otóż w pierścieniu wielomianów $K[x]$ tego ciała znaleźć można wielomiany stopnia niezerowego, których pochodna znika. Dzieje się tak mianowicie wtedy, kiedy dany wielomian $f\in K[x^{p}],$ gdzie $p$ jest charakterystyką rozpatrywanego ciała. Dla każdego wielomianu $f$ z tego ostatniego pierścienia można go bowiem zastąpić przez inny wielomian $g$ wzięty z $K[x],$ w ten sposób, że $f(x)=g(x^{p}),$ czyli że argumentem $g$ jest $x$ podniesione do potęgi $p.$ Z właściwości ciała o charakterystyce $p$ wynika, że pochodna tegoż $x^{p}$ wynosi $0.$ Z równości $f$ i $g$ wnosi się następnie o równości ich pochodnych, a wyliczając pochodną $g'$ korzysta się z wzoru na pochodną funkcji zagnieżdżonej w innej funkcji, tak więc $(g(x^{p}))'=g'(x^{p})(x^{p})',$ a ostatni czynnik, jak wcześniej wskazano, wynosi $0.$ Wobec tego cały iloczyn i w efekcie pochodna $f$ także wynoszą $0.$ I w drugą stronę, jeśli pochodna danego wielomianu $f$ znika, mając postać sumy jednomianów wyrażających się przez $na_{n}x^{n-1}$ dla kolejnych $n$ aż do stopnia $f,$ to wszystkie iloczyny $na_{n}$ muszą mieć wartość $0.$ Tak więc $a_{n}$ musi być zerowe lub też $n.$ Drugi człon alternatywy będzie spełniony, jeśli $n$ będzie wielokrotnością $p.$ Każdy z takich jednomianów będzie się więc wyrażał jako $a_{kp}x^{kp}$ dla pewnego całkowitego $k$ ^[5]. Wynika stąd wniosek, że pierwiastek takiego wielomianu, choć będzie elementem algebraicznym nad $K,$ nie będzie elementem rozdzielczym nad tym ciałem^[1].