Działanie określone punktowo

Działanie określone punktowo – działanie zdefiniowane na funkcjach $f,g,h,\dots \colon X\to Y$ należących do tej samej przestrzeni funkcyjnej, takie że definicja podaje sposób obliczenia wyniku działania poprzez odwołanie się do wartości $f(x),g(x),h(x),\dots$ funkcji obliczonych w punktach $x$ dziedziny $X$ tych funkcji. Przykładami działań określonych punktowo są działania dodawania funkcji, mnożenia funkcji przez siebie, mnożenie funkcji przez skalar (patrz niżej).

Działania określone punktowo na funkcjach $f,g,h,\dots$ dziedziczą własności działania określonego w przeciwdziedzinie $Y$ tych funkcji, np. łączność, przemienność, rozdzielność itp. W ogólności, jeśli przeciwdziedzina funkcji $f,g,h,\dots$ tworzy pewną strukturę algebraiczną, to w ich przestrzeni funkcyjnej można wprowadzić strukturę algebraiczną tego samego typu.

Przykłady: Działania określone punktowo

Działaniami określonymi punktowo są poniżej zdefiniowane działania.

Niech $f,g\colon X\to \mathbb {R}$ będą funkcjami z dziedziny $X$ w zbiór liczb rzeczywistych $\mathbb {R}$ (w szczególności $X=\mathbb {R} ;$ jeśli $X\subseteq \mathbb {N} ,$ funkcje mogą być ciągami czy szeregami).

(1) Dodawanie funkcji: sumą funkcji $f,g$ nazywa się funkcję $h$ taką że dla wszystkich $x\in X$ jest

$h(x)=f(x)+g(x).$

Wtedy pisze się $h=f+g.$

(2) Mnożenie funkcji: iloczynem funkcji $f,g$ nazywa się funkcję $h$ taką że dla wszystkich $x\in X$ jest

$h(x)=f(x)\cdot g(x).$

Wtedy pisze się $h=f\cdot g.$

(3) Mnożenie funkcji przez skalar: iloczynem funkcji $f$ przez liczbę $\alpha \in \mathbb {R}$ nazywa się funkcję $h$ taką że dla wszystkich $x\in X$ jest

$h(x)=\alpha f(x).$

Wtedy pisze się $h=\alpha \cdot f.$

Własności działań w przestrzeni funkcyjnej

Własności działań określonych punktowo przenoszą się na własności działań w przestrzeni funkcyjnej. Np. jeżeli dodawanie określone punktowo na funkcjach $f,g,h,\dots$ jest przemienne w przeciwdziedzinie $Y,$ to przemienne jest dodawanie tych funkcji, określone w ich przestrzeni funkcyjnej. Tzn.

(1) Dodawanie funkcji $f,g$ jest przemienne ze względu na dodawane, jeżeli dla wszystkich $x\in X$ jest

$f(x)+g(x)=g(x)+f(x).$

Wtedy pisze się $f+g=g+f.$

Podobnie stwierdzenia dotyczą innych działań określonych punktowo, np. mnożenia funkcji przez siebie, mnożenia funkcji przez skalar.

(2) Mnożenie funkcji $f,g$ jest przemienne jeżeli dla wszystkich $x\in X$ jest

$f(x)\cdot g(x)=g(x)\cdot f(x).$

Wtedy pisze się $f\cdot g=g\cdot f.$

(3) Mnożenie funkcji $f$ przez liczbę $\alpha \in \mathbb {R}$ jest przemienne, jeżeli dla wszystkich $x\in D$ jest

$\alpha \,f(x)=f(x)\,\alpha .$

Wtedy pisze się $\alpha \cdot f=f\cdot \alpha$

Także, jeżeli działania określone punktowo są rozdzielne względem dodawania/łączne, to rozdzielne względem dodawania/łączne będą działania określone na tych funkcjach w przestrzeni funkcyjnej.

Działania nie określone punktowo

Działania nie określone punktowo przypisują danym funkcjom $f,g$ funkcję $h$ w ten sposób, że wartości funkcji wynikowej $h(x)$ zależą od wartości funkcji $f,g$ zadanych w większej liczbie punktów.

Przykład: Splot funkcji

Splot funkcji $f,g$ określonych na zbiorze liczb rzeczywistych jest to funkcja $h=f*g,$ taka że jej wartości $h(x)$ oblicza się jako całkę z wartości funkcji $f,g$ zadanych w całej dziedzinie liczb $\mathbb {R}$

$h(x)\,{\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ \int _{-\infty }^{\infty }f(t)g(x-t)\,dt$

– przy tym dziedziną działania splotu jest zbiór funkcji całkowalnych w sensie Lebesgue’a $\mathrm {L} ^{1}(\mathbb {R} ).$

Działanie na wektorach określone po współrzędnych/po składowych

Definicje współrzędnych i składowych

Niech $K$ oznacza ciało liczbowe, $n$ – liczba naturalna, $i\in \langle n\rangle =\{1,\dots ,n\}$ – pewien indeks.

Przestrzenią współrzędnych $K^{n}$ nazywa się przestrzeń liniową utworzoną za pomocą iloczynu kartezjańskiego przestrzeni $K.$

Jeżeli w przestrzeni $K^{n}$ wprowadzi się bazę standardową $\{\mathbf {e} _{i},i=1,\dots ,n\},$ to

• wektora $\mathbf {v} \in K^{n}$ ma postać $\mathbf {v} =(v_{1},\dots ,v_{n}),$ przy czym $v_{i}$ nazywa się jego $i$-tą współrzędną w tej bazie,
• wektor $\mathbf {v} _{i}=v_{i}\mathbf {e} _{i},$ gdzie nazywa się $i$-tą składową wektora $\mathbf {v} .$

Działanie określone po współrzędnych/po składowych

Działania na wektorach można definiować dwoma sposobami: odwołując się do współrzędnych lub odwołując się do składowych wektorów. Np. dodawanie wektorów $\mathbf {u} =\mathbf {v} +\mathbf {w}$

(1) określone po współrzędnych jest wyrażone wzorem

$u_{i}=v_{i}+w_{i},\,\,i=1,\dots ,n,$

czyli

$(u_{1},\dots ,u_{n})=(v_{1}+w_{1},\dots ,v_{n}+w_{n}),$

(2) określone po składowych jest wyrażone wzorem

$\mathbf {u} _{i}=\mathbf {v} _{i}+\mathbf {w} _{i},\,\,i=1,\dots ,n,$

czyli

$\mathbf {u} _{1}+\dots +\mathbf {u} _{n}=(\mathbf {v} _{1}+\mathbf {w} _{1})+\dots +(\mathbf {v} _{n}+\mathbf {w} _{n}).$

Funkcje współrzędnych/rzutowań

(1) Przekształcenie $v\colon \langle n\rangle \to K$ dane wzorem $v(i)=v_{i}$ nazywa się funkcją współrzędnych; $v_{i}$ nazywa się współrzędną wektora.

(2) Przekształcenie $\mathbf {v} \colon \langle n\rangle \to K^{n}$ dane wzorem $\mathbf {v} (i)=\mathbf {v} _{i}$ nazywa się funkcją rzutowań; $\mathbf {v} _{i}$ nazywa się rzutem wektora.

Istnieje wzajemnie jednoznaczna odpowiedniość między składowymi wektora a jego współrzędnymi zadana wzorem

$\mathbf {v} (i)=v(i)\mathbf {e} _{i}$

W ten sposób dodawanie wektorów można zapisać za pomocą funkcji współrzędnych/rzutowań:

$u(i)=v(i)+w(i)\quad {\text{ oraz }}\quad \mathbf {u} (i)=\mathbf {v} (i)+\mathbf {w} (i)$

Oznacza to, że działania dodawania określone po współrzędnych/składowych dla wektorów są równoważne działaniom dodawania na odpowiadających im funkcjach współrzędnych/rzutowań określonym punktowo – z tego powodu wyrażenia „po współrzędnych” i „po składowych” stosowane są zwykle wymiennie (również z wyrażeniem „punktowo”). Analogicznie ma się rzecz z działaniem mnożenia przez skalar.

Działania określone jak wyżej nazywa się też „określonymi standardowo/naturalnie” bądź „w naturalny/standardowy sposób” („standardowymi” bądź „naturalnymi”), wynika to z zastosowania bazy standardowej, nazywanej także naturalną – można ją zastąpić inną bazą, otrzymując działania określone po współrzędnych/składowych względem tej bazy, także dla dowolnej abstrakcyjnej przestrzeni liniowej $V$ nad ciałem $K.$

Powyższe stwierdzenia obowiązują również dla $K=R$ będącego pierścieniem, gdy $R^{n}$ jest modułem, czy ogólnie dla skończenie generowanego modułu wolnego $M$ nad pierścieniem $R.$ Analogicznie określa się działania na iloczynie kartezjańskim dowolnych struktur algebraicznych, co prowadzi do pojęcia iloczynu prostego (w przypadku skończenie wielu czynników jest on równoważny sumie prostej o skończenie wielu składnikach).

Relacja określona punktowo

Częstą praktyką w teorii porządku jest definiowanie określonego punktowo porządku częściowego na funkcjach. Dla (częściowo) uporządkowanych zbiorów $A,B$ zbiór funkcji $A\to B$ można uporządkować relacją $f\leqslant g$ określoną dla każdego $x\in A$ wzorem $f(x)\leqslant g(x).$ Porządki częściowe określone punktowo dziedziczą niektóre z własności zbiorów uporządkowanych, na których zostały zdefiniowane; przykładowo jeżeli $A,B$ są kratami ciągłymi, to zbiór funkcji $A\to B$ również jest kratą tego typu. Porządek określony punktowo umożliwia zwięzłe wprowadzenie innych ważnych pojęć, np.

• operator domknięcia $\mathrm {c}$ na zbiorze uporządkowanym $P$ to operator rzutu (tzn. monotoniczne idempotentne odwzorowanie tego zbioru w siebie) o dodatkowej własności $\mathrm {id} _{A}\leqslant \mathrm {c} ;$
• podobnie operator rzutu $\mathrm {k}$ nazywa się operatorem jądra (bądź wnętrza), gdy $\mathrm {k} \leqslant \mathrm {id} _{A};$

symbol $\mathrm {id} _{A}$ oznacza wyżej funkcję tożsamościową na $A.$

Przykładem nieskończonej relacji określonej punktowo jest zbieżność punktowa funkcji: ciąg $(f_{n}),$ gdzie $f_{n}\colon X\to Y,$ zbiega punktowo do funkcji $f$ (ozn. $\lim f_{n}=f$), jeżeli dla każdego $x\in X$ zachodzi

$\lim f_{n}(x)=f(x).$

Zobacz też

• przestrzeń funkcyjna
• zbieżność punktowa (po współrzędnych/składowych)