Dyskretyzacja kontinuum

Dyskretyzacja kontinuum stanowi dzisiaj podstawę większości metod rozwiązywania zagadnień mechaniki ośrodków ciągłych. Koncepcja dyskretyzacji została matematycznie uogólniona między innymi dla zastosowań numerycznego całkowania równań różniczkowych i teorii aproksymacji. Interesujący jest fakt, że idea dyskretyzacji znalazła swój początek w mechanice budowli, a konkretnie w metodzie przemieszczeń stosowanej od dawna w obliczeniach konstrukcji budowlanych.

Idea dyskretyzacji

Istota dyskretyzacji polega na tym, że opis pola przemieszczeń ${\vec {u}}\ \epsilon \ R^{3}$ punktu kontinuum, o wektorze wodzącym ${\vec {r}}\ \epsilon \ R^{3},$ za pomocą funkcji ciągłej ${\vec {u}}({\vec {r}}),$ zostaje zastąpiony opisem dyskretnym.

Opis ten polega na tym, że rozważane kontinuum zostaje podzielone na elementy o skończonych wymiarach (tzw. elementy skończone) z wyróżnionymi punktami węzłowymi. W każdym węźle, w przypadku ogólnym, zostaje wprowadzone po sześć parametrów geometrycznych (trzy przemieszczenia liniowe i trzy kątowe). Pole przemieszczeń wewnątrz każdego z elementów jest aproksymowane za pomocą prostych funkcji np. odpowiednich wielomianów, zbudowanych na bazie parametrów węzłowych. W ten sposób pole przemieszczeń całego rozważanego kontinuum zostaje opisane za pomocą wektora

${\vec {Q}}(t)=[Q_{1}(t),\ Q_{2}(t),\ \dots \ Q_{n}(t)]^{T}$

o skończonej, zazwyczaj dużej, liczbie współrzędnych (parametrów węzłowych). Otrzymuje się w ten sposób dyskretny model kontinuum. Dzięki temu własności sprężyste, tłumiące i bezwładnościowe mogą być w sposób jednoznaczny opisane za pomocą trzech macierzy (bezwładności, tłumienia i sztywności) o skończonych wymiarach, odpowiednio

$K={\begin{bmatrix}k_{11}&k_{12}&\dots &k_{1n}\\k_{21}&k_{22}&\dots &k_{2n}\\\dots &\dots &\dots &\dots \\k_{n1}&k_{n2}&\dots &k_{nn}\end{bmatrix}},\quad C={\begin{bmatrix}c_{11}&c_{12}&\dots &c_{1n}\\c_{21}&c_{22}&\dots &c_{2n}\\\dots &\dots &\dots &\dots \\c_{n1}&c_{n2}&\dots &c_{nn}\end{bmatrix}},\quad M={\begin{bmatrix}m_{11}&m_{12}&\dots &m_{1n}\\m_{21}&m_{22}&\dots &m_{2n}\\\dots &\dots &\dots &\dots \\m_{n1}&m_{n2}&\dots &m_{nn}\end{bmatrix}}.$

Równanie ruchu

Równanie równowagi (ruchu) modelu dyskretnego można zapisać, wykorzystując zasadę d’Alemberta, w postaci sumy sił czynnych działających na ten model

${\vec {B}}(t)+{\vec {T}}(t)+{\vec {S}}(t)+{\vec {P}}(t)=0,$

gdzie:

${\vec {B}}(t)$ – wektor sił bezwładności,

${\vec {T}}(t)$ – wektor sił tłumiących,

${\vec {S}}(t)$ – wektor sił sprężystych,

${\vec {P}}(t)$ – wektor sił obciążających (wymuszających).

Uwzględniając związki

${\vec {B}}(t)=-M{\ddot {\vec {Q}}}(t),\quad {\vec {T}}(t)=-C{\dot {\vec {Q}}}(t),\quad {\vec {S}}(t)=-K{\vec {Q}}(t)$

otrzymujemy równanie

$M{\ddot {\vec {Q}}}(t)+C{\dot {\vec {Q}}}(t)+K{\vec {Q}}(t)={\vec {P}}(t){\mbox{. (a)}}$

opisujące ruch modelu o n stopniach swobody.

Macierze $M,C,K$ można też zapisać następująco

$M=[{\vec {m}}_{1},\ {\vec {m}}_{2},\ \dots \ {\vec {m}}_{n}],\quad \ C=[{\vec {c}}_{1},\ {\vec {c}}_{2},\ \dots \ {\vec {c}}_{n}],\quad K=[{\vec {k}}_{1},\ {\vec {k}}_{2},\ \dots \ {\vec {k}}_{n}]$

i wówczas wektory ${\vec {m}}_{j},\ {\vec {c}}_{j},\ {\vec {k}}_{j}$ mogą być interpretowane jako reakcje więzów węzłowych (siły bierne) równoważące działanie sił czynnych spowodowanych odpowiednio: jednostkowym przyspieszeniem ${\ddot {Q}}_{j}=1,$ jednostkową prędkością ${\dot {Q}}_{j}=1$ i jednostkowym przemieszczeniem $Q_{j}=1.$

Korzystając z tej interpretacji można obliczyć wartości poszczególnych elementów macierzy M, C i K.

Równanie o postaci (a) stanowi podstawę analizy statycznej i dynamicznej modeli o skończonej liczbie stopni swobody.

Agregacja

Macierze M, C i K, występujące w równaniu (a) i opisujące ruch całego modelu dyskretnego, nazywane są macierzami globalnymi zwykle o znacznych rozmiarach. W praktyce obliczeniowej powstają one z małych macierzy lokalnych opisujących własności poszczególnych elementów skończonych. Odbywa się to w procesie nazywanym agregacją. Polega ona na wykorzystaniu faktu, że elementy sąsiadujące ze sobą mają wspólne stopnie swobody. Z tego powodu elementy małych macierzy lokalnych są odpowiednio rozmieszczane (i sumowane) w dużych macierzach globalnych na właściwych miejscach. Agregacja stanowi procedurę istotną i charakterystyczną dla metody elementów skończonych.