Droga (topologia)

Droga – ciągłe przekształcenie z przedziału jednostkowego w przestrzeń topologiczną. Pętlą nazywa się drogę, której początek i koniec pokrywają się. Ich parametr, szczególnie przy homotopiach, nazywa się niekiedy czasem.

Definicja

Niech $I=[0,1]\subset \mathbb {R}$ oraz niech $X$ będzie przestrzenią topologiczną. Drogą nazywamy ciągłe przekształcenie $f\colon I\to X.$

Punktem początkowym drogi jest $f(0),$ a końcowym $f(1).$ Często mówi się o „drodze z $x$ do $y$”, co oczywiście oznacza, że punkty te są odpowiednio początkowym i końcowym danej drogi.

Pętlą zaczepioną w $x\in X$ nazywa się drogę z $x$ do $x.$ Równoważnie można określić ją jako drogę $\alpha \colon I\to X$ taką, że $\alpha (0)=\alpha (1)$ lub jako ciągłe odwzorowanie okręgu jednostkowego w przestrzeń, czyli $\alpha \colon {\mathcal {S}}^{1}\to X.$ Ostatnia równoważność wynika z tego, że ${\mathcal {S}}^{1}$ może być rozważane jako przestrzeń ilorazowa $I$ z utożsamionymi punktami $0$ i $1.$

Zbiór pętli w $X$ zaczepionych w $a$ nazywamy przestrzenią pętli i oznaczamy symbolem $\Omega (X).$

Drogowa spójność

Przestrzeń topologiczną, w której dla jej dowolnych dwóch punktów istnieje droga je łącząca, nazywa się drogowo spójną. Każda przestrzeń $X$ może zostać rozbita na zbiór drogowo spójnych składowych, który oznaczany jest często $\pi _{0}(X).$

Uwagi

Należy pamiętać, że droga nie jest tym samym co jej obraz. Oznacza to, że nie jest tylko podzbiorem $X,$ który wygląda jak krzywa, ale przede wszystkim odwzorowaniem z daną parametryzacją. Przykładem mogą być odwzorowania $f(x)=x$ oraz $g(x)=x^{2}$ będące dwiema różnymi drogami z $0$ do $1$ na prostej rzeczywistej.

Przestrzenie z wyróżnionym punktem

Można także badać drogi i pętli w przestrzeniach topologicznych z wyróżnionym punktem, które są ważnymi obiektami w teorii homotopii. Niech $(X,a)$ będzie taką przestrzenią, drogą w $(X,a)$ nazywa się te drogi w $X,$ których punktem początkowym jest $a.$ Analogicznie pętlą w $(X,a)$ nazywa się pętle zaczepione w $a.$

Homotopia

Homotopia między dwiema drogami.

Homotopia dróg i pętli jest niezwykle ważnym środkiem badawczym w dziale topologii algebraicznej, nazywanym teorią homotopii. Homotopia między drogami jest uściśleniem intuicji ciągłej deformacji drogi w jednostce czasu (którą jest przedział jednostkowy $I$) przy zachowaniu jej punktów końcowych.

Homotopia między pętlami zaczepionymi we wspólnym punkcie pozwala przyporządkować przestrzeni topologicznej z wyróżnionym punktem grupę podstawową. Okazuje się, że jeżeli wspomniana przestrzeń jest łukowo spójna, to wybór punktu zaczepienia jest nieistotny.

Drogi

Homotopią dróg z $a$ do $b$ w $X$ nazywamy rodzinę dróg $f_{t}\colon I\to X$ taką, że

• $f_{t}(0)=a$ i $f_{t}(1)=b$ są stałe,
• odwzorowanie $F\colon I\times I\to X$ dane wzorem $F(s,t)=f_{t}(s)$ jest ciągłe.

Pętle

Homotopią pętli $\alpha ,\beta \in \Omega (X,a)$ nazywamy homotopię $H\colon I\times I\to X$ łączącą $\alpha$ oraz $\beta$ spełniającą warunek $H(0,t)=H(1,t)=a$ dla $t\in I.$

Dla powyższej homotopii każda droga $\alpha _{t}(s)=H(s,t)$ jest pętlą w $X$ zaczepioną w $a.$ Należy pamiętać, że na homotopię pętli nakłada się dodatkowy warunek: mianowicie aby punkt zaczepienia $a$ nie ulegał przesunięciu.

Równoważność

Drogi i pętle między którymi zachodzi homotopia, nazywa się homotopijnymi. Podobnie jak homotopia dowolnych przekształceń, homotopie dróg w $\Omega (X)$ i pętli w $\Omega (X,a)$ są relacjami równoważności. Klasa równoważności drogi $f$ tej relacji nazywana jest klasą homotopii i oznaczana często $[f].$

Składanie

Załóżmy, że $f$ jest drogą z $x$ do $y,$ zaś $g$ z $y$ do $z.$ Złożeniem dróg $f$ i $g$ nazywamy drogę $f\circ g$ zdefiniowaną jako uprzednie przejście po $f,$ a następnie po $g{:}$

$(f\circ g)(s)={\begin{cases}f(2s)&0\leqslant s\leqslant {\tfrac {1}{2}}\\g(2s-1)&{\tfrac {1}{2}}\leqslant s\leqslant 1\end{cases}}.$

Jeżeli rozważymy wszystkie pętle zaczepione w $a,$ to złożenie dróg staje się działaniem dwuargumentowym. Złożenie dróg nie jest łączne z powodu różnic w parametryzacjach, jednakże jest łączne na poziomie homotopii, tj. $[(f\circ g)\circ h]=[f\circ (g\circ h)].$

Grupa podstawowa

Składanie dróg określa na zbiorze klas homotopii pętli zaczepionych we wspólnym punkcie $a$ strukturę grupy, nazywanej grupą podstawową i oznaczaną $\pi _{1}(X,a).$

Zobacz też

• grupa podstawowa
• homotopia
• krzywa

Bibliografia

• S. Betley, J. Chaber, E. i R. Pol, Topologia I wykłady i zadania, skrypt 2005.