Dodawanie Minkowskiego

Dodawanie Minkowskiego – działanie określone na rodzinie wszystkich (niepustych) podzbiorów danej przestrzeni liniowej $X$ wzorem

$A+B=\{a+b\colon a\in A,\;b\in B\}.$

Powyższa definicja ma sens dla dowolnego zbioru $X$ z określonym działaniem $+$ (np. $(X,+)$ może być grupą, zob. iloczyn kompleksowy), jednakże najczęściej jest ono rozpatrywane w kontekście przestrzeni liniowych. Wynik dodawania Minkowskiego nazywany jest sumą Minkowskiego.

Gdy $a$ jest dowolnym elementem przestrzeni $X$ oraz $A$ jest jej podzbiorem, to stosuje się oznaczenia

$a+B:=\{a\}+B$ oraz $A+b:=A+\{b\}.$

Własności

• Dodawanie Minkowskiego jest łączne, przemienne i rozdzielne względem sumy zbiorów, tzn.

$A+(B\cup C)=(A+B)\cup (A+C)$

dla dowolnych podzbiorów $A,B$ i $C$ przestrzeni liniowej $X$ (por. modularność).

• Zbiór $\{0\}$ jest elementem neutralnym dodawania Minkowskiego.
• Suma Minkowskiego dwóch zbiorów wypukłych jest wypukła.
• Zachodzi następująca nierówność dotycząca mocy sumy Minkowskiego:

$|A+B|\leqslant |A|\cdot |B|.$

• W przestrzeni liniowo-topologicznej, suma Minkowskiego dwóch zbiorów zwartych jest zbiorem zwartym. Jeżeli $X$ jest metryzowalną przestrzenią liniowo-topologiczną, to dodawanie Minkowskiego jest ciągłe względem metryki Hausdorffa w rodzinie zwartych podzbiorów $X.$

Nierówność Brunna-Minkowskiego

Jeżeli $\mu$ oznacza miarę Lebesgue’a w przestrzeni $\mathbb {R} ^{n}$ oraz $A$ i $B$ są zbiorami wypukłymi w $\mathbb {R} ^{n},$ to

$\mu (A+B)^{1/n}\geqslant \mu (A)^{1/n}+\mu (B)^{1/n}$

Powyższa nierówność nazywana jest nierównością Brunna-Minkowskiego. Nierówność ta jest górnym ograniczeniem objętości sumy dwóch zbiorów mierzalnych w przestrzeni euklidesowej.

Przykład

Dla podzbiorów płaszczyzny

$A=\{(1,0),(0,1),(0,-1)\},$ $B=\{(0,0),(1,1),(1,-1)\},$

ich sumą Minkowskiego jest zbiór

$A+B=\{(1,0),(2,1),(2,-1),(0,1),(1,2),(0,-1),(1,-2)\}.$

Jeżeli $A$ i $B$ są trójkątami równoramiennymi (które są wypukłe), to ich sumą Minkowskiego jest sześciokąt wypukły, o którym można powiedzieć, iż powstał z przesuwania $A$ wzdłuż krawędzi $B,$ jak na rys. 3-4.

• 
  Rys. 1
• 
  Rys. 2
• 
  Rys. 3

Bibliografia

• Rolf Schneider: Convex Bodies: The Brunn-Minkowski Theory. Cambridge University Press, 1993, seria: Encyclopedia of Mathematics and its Applications. ISBN 978-0521352208.