Charakterystyka Eulera

Charakterystyka Eulera, charakterystyka Eulera-Poincarégo – niezmiennik topologiczny początkowo definiowany jedynie dla wielościanów wypukłych.

Powierzchnie wielościanów wypukłych

Najprostszy podział torusa, pozwalający obliczyć jego charakterystykę Eulera (tu $W=1,$ $K=2,$ $S=1$).

Wprowadźmy oznaczenia:

• $W$ – liczba wierzchołków,
• $S$ – liczba ścian,
• $K$ – liczba krawędzi.

Charakterystykę Eulera, oznaczaną tradycyjnie literą $\chi ,$ dla powierzchni wielościanów wypukłych definiuje się jako:

$\chi =W-K+S.$

Wielościany wypukłe spełniają twierdzenie Eulera o wielościanach, co oznacza, że zachodzi wzór:

$W+S=K+2.$

Charakterystyka Eulera powierzchni wielościanów wypukłych wynosi zatem $2.$

Własność ta została po raz pierwszy zauważona (jedynie dla brył platońskich) w 1537 roku przez Francesco Maurolico w jego nieopublikowanym manuskrypcie. Następnie, dla wielościanów wypukłych własność tę zauważył Euler. Pierwszy poprawny dowód jej prawdziwości podał Legendre.

Wielościany dowolne

Ta sama definicja (czyli $\chi =W-K+S$) obowiązuje także dla innych wielościanów. Każda powierzchnia wielościanu homeomorficzna z powierzchnią wielościanu wypukłego ma charakterystykę równą 2. Nie jest to prawdą dla wszystkich powierzchni wielościanów: wszystkie powierzchnie wielościanów homeomorficzne z torusem (czyli takie, przez środek których „przechodzi dokładnie jedna dziura”) mają charakterystykę równą 0.

Definicja ogólna

Niech $X$ będzie przestrzenią topologiczną. Jej charakterystykę Eulera definiujemy jako

$\chi (X)=\sum _{i=0}^{\infty }(-1)^{i}{\text{rank}}(H_{i}(X)),$

gdzie ${\text{rank}}(H_{i}(X))$ jest rangą $i$-tej grupy homologii (tj. $i$-tą liczbą Bettiego) przestrzeni $X.$ Definicja ta ma sens jedynie wtedy, gdy wszystkie liczby Bettiego oraz ich suma są skończone.

W przypadku, gdy $X$ jest skończonym CW-kompleksem, to jego charakterystyka Eulera jest równa

$\chi (X)=\sum _{i=0}^{\infty }(-1)^{i}k_{i},$

gdzie $k_{i}$ oznacza liczbę komórek wymiaru $i.$ W szczególności, w przypadku kompleksów symplicjalnych $k_{i}$ oznacza liczbę $i$-wymiarowych sympleksów.

Powierzchnie

Aby obliczyć charakterystykę Eulera powierzchni (jak i innych, wyżej wymiarowych wielościanów) wystarczy znaleźć jej rozkład komórkowy. Np. dla sfery wystarczy jedna komórka 0-wymiarowa oraz jedna wymiaru 2. Przedstawienie sfery w postaci wielościanu wymaga co najmniej 4 ścian, 4 wierzchołków oraz 6 krawędzi.

Nazwa powierzchni	Wygląd	Charakterystyka Eulera
Sfera		2
Torus		0
Wstęga Möbiusa (z brzegiem)		0
Butelka Kleina		0
Płaszczyzna rzutowa rzeczywista		1
Dwie sfery (niepołączone)		2 + 2 = 4
$n$ niepołączonych sfer		$2n$

Uogólnienia

• Jeżeli $X$ jest skończonym wielościanem, to $\chi (X)$ jest równa liczbie Lefschetza identyczności ${\text{id}}_{X}.$
• Niech ${\mathcal {C}}$ będzie skończoną kategorią. Tj. taką, że liczba morfizmów (a więc i obiektów) jest skończona. Oznaczmy przez $A_{1},\dots ,A_{n}$ jej obiekty. Z taką kategorią możemy stowarzyszyć macierz $M_{\mathcal {C}}$ wymiaru $n\times n,$ gdzie $m_{ij}$ jest liczbą morfizmów $A_{i}\to A_{j}.$ Jeżeli istnieją takie $[x^{1},\dots ,x^{n}],[x_{1},\dots ,x_{n}]\in \mathbb {Q} ^{n},$ że

$M_{\mathcal {C}}{\begin{bmatrix}x^{1}\\x^{2}\\\dots \\x^{n}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}1\\1\\\dots \\1\end{bmatrix}}{\text{ oraz }}{\begin{bmatrix}x_{1}&x_{2}&\dots &x_{n}\end{bmatrix}}M_{\mathcal {C}}={\begin{bmatrix}1&1&\dots &1\end{bmatrix}},$ to $\sum _{i=1}^{n}x^{i}=\sum _{i=1}^{n}x_{i}.$

Powyższą sumę nazywamy charakterystyką Eulera kategorii ${\mathcal {C}}.$ Jest ona liczbą wymierną. Jeżeli przestrzeń klasyfikująca kategorii ${\mathcal {C}}$ jest skończonym wielościanem, to jego charakterystyka Eulera jest równa $\chi ({\mathcal {C}}).$

Aksjomatyzacja

Charakterystykę Eulera można zdefiniować również aksjomatycznie. Dokładniej, zredukowana charakterystyka Eulera (tj. charakterystyka minus 1) jest jedyną całkowitoliczbową funkcją $\epsilon$ określoną na zbiorze klas homeomorfizmów skończonych wielościanów (z punktem bazowym) spełniającą warunki:

(1)$\epsilon (X)=\epsilon (A)+\epsilon (X/A),$

(2)$\epsilon (\mathbb {S} ^{0})=1,$

dla dowolnej pary wielościanów $A\subseteq W.$

Zobacz też

• genus, niezmiennik powiązany z Ch. Eulera
• krzywizna Gaussa

Linki zewnętrzne

• JoannaJ. Jaszuńska JoannaJ., w−k+s=2, „Delta”, marzec 2016, ISSN 0137-3005 [dostęp 2024-10-30] .
• Eric W.E.W. Weisstein Eric W.E.W., Polyhedral Formula, [w:] MathWorld, Wolfram Research  (ang.). [dostęp 2023-06-18].