Całka Riemanna-Stieltjesa

Całka Riemanna-Stieltjesa, całka Stieltjesa – jedno z uogólnień całki Riemanna; podał je Thomas Joannes Stieltjes.

Definicja

Całkę Riemanna-Stieltjesa funkcji rzeczywistej $f$ względem funkcji $g$ na przedziale $[a,b]$ oznacza się symbolem

$\int _{a}^{b}f(x)\,dg(x)$

i definiuje jako granice po wszystkich podziałach

$P=\{x_{0},\ x_{1},\dots ,\ x_{n}:a=x_{0}<x_{1}<\ldots <x_{n}=b\}$

o średnicach zbiegających do zera z następujących sum całkowych

$S(P,f,g)=\sum _{i=0}^{n-1}f(c_{i})(g(x_{i+1})-g(x_{i})),$

gdzie $c_{i}\in [x_{i},x_{i+1}].$

Przez granicę sum całkowych rozumie się liczbę $A$ (zwaną wartością całki Riemanna-Stieltjesa) taką, że dla każdego $\varepsilon >0$ istnieje liczba $\delta >0$ taka, że dla każdego podziału $P=\{a=x_{0}<x_{1}<\ldots <x_{n}=b\}$ o średnicy $d(P)=\max\{x_{i+1}-x_{i}:i=0,\dots ,n-1\}<\delta$ i dowolnych $c_{i}\in [x_{i},x_{i+1}]$ zachodzi

$|S(P,f,g)-A|<\varepsilon .$

Całka Riemanna-Stieltjesa a całka Riemanna

Jeśli $g(x)=x,$ to wprost z definicji widać, że całka $\int _{a}^{b}f(x)\,dg(x)$ jest całką Riemanna $\int _{a}^{b}f(x)\,dx.$ Prawdziwy jest ogólniejszy fakt – jeśli $g$ jest różniczkowalna w każdym punkcie swojej dziedziny, to

$\int _{a}^{b}f(x)\,dg(x)=\int _{a}^{b}f(x)g'(x)\,dx.$

W powyższej równości całka po prawej stronie to całka Riemanna.

Całka Riemanna-Stieltjesa a wahanie funkcji

Wprost z definicji całki Riemanna-Stieltjesa i wahania funkcji otrzymujemy następującą zależność

$\int _{a}^{b}1\,dg(x)=V_{a}^{b}(g).$

Zatem jeśli $g$ nie ma wahania skończonego, to całka $\int _{a}^{b}1\,dg(x)$ nie istnieje. Stąd w rozważaniach nad całką Riemanna-Stieltjesa z reguły zakłada się, że $g$ ma wahanie skończone. Jeśli $g(x)$ ma wahanie skończone, to jest różnicą $h(x)-j(x)$ dwóch funkcji monotonicznych i wówczas

$\int _{a}^{b}f(x)\,dg(x)=\int _{a}^{b}f(x)\,dh(x)-\int _{a}^{b}f(x)\,dj(x).$

Z tego względu często rozważa się własności całki Riemanna-Stieltjesa względem funkcji monotonicznych $g,$ by następnie, korzystając z powyższego wzoru, przejść do ogólnych rozważań.