Atlas (matematyka)

Atlas – kolekcja map, przypisanych pewnej rozmaitości, taka że każdemu podzbiorowi rozmaitości przypisana jest jakaś mapa (zwanej też: mapą współrzędnych lub lokalnym układem współrzędnych). Istnieje wiele możliwych atlasów, jakie można utworzyć dla danej rozmaitości. Atlas opisuje sposób, w jaki rozmaitość jest wyposażona w strukturę różniczkową.

Definicja mapy

Przedstawienie dwóch zgodnych map na rozmaitości wraz z przekształceniem przejścia. Zbiór $U_{\alpha }$ zaznaczono na czerwono, $U_{\beta }$ na niebiesko, a ich część wspólną $U_{\alpha ,\beta }$ na fioletowo; przekształcenie przejścia $\varphi _{\alpha ,\beta }$ (strzałka po prawej) jest zdefiniowane jako złożenie $\varphi _{\alpha }^{-}1$ ($\varphi _{\alpha }$ to górna strzałka) oraz $\varphi _{\beta }$ (dolna strzałka).

Niech dana będzie rozmaitość $M$ o wymiarze $n.$ Niech $U$ będzie otwartym podzbiorem $M.$

Mapą na rozmaitości $M$ w otoczeniu $U$ nazywa się parę $(U,\varphi ),$ gdzie

$\varphi \colon U\to V$

jest homeomorfizmem na pewien otwarty podzbiór $V$ przestrzeni $\mathbb {R} ^{n}.$

Sklejanie map (przekształcenie przejścia)

Dla dwóch map $(U_{\alpha },\varphi _{\alpha })$ i $(U_{\beta },\varphi _{\beta })$ na $M$ o tej własności, że zbiór

$U_{\alpha ,\beta }:=U_{\alpha }\cap U_{\beta }$

jest niepusty, definiuje się przekształcenie przejścia („sklejenie”)

$\varphi _{\alpha ,\beta }\colon \varphi _{\alpha }(U_{\alpha ,\beta })\to \varphi _{\beta }(U_{\alpha ,\beta })$

dane wzorem:

$\varphi _{\alpha ,\beta }=\varphi _{\beta }\circ \varphi _{\alpha }^{-1}.$

Przekształcenia $\varphi _{\alpha }$ i $\varphi _{\beta }$ są homeomorfizmami, więc ich przekształcenia przejścia są również homeomorfizmami. W ten sposób przekształcenia przejścia również są wyposażone w pewien rodzaj zgodności w tym sensie, iż przejście od układu współrzędnych zadanego jedną z map do układu współrzędnych zadanego na drugiej jest ciągłe.

Zgodność gładka map

Dwie nakładające się mapy $(U_{\alpha },\varphi _{\alpha })$ oraz $(U_{\beta },\varphi _{\beta })$ nazywa się zgodnymi w sposób gładki, jeśli przekształcenie przejścia między nimi jest nieskończenie wiele razy różniczkowalne.

Definicja atlasu

Zbiór ${\mathcal {A}}={\big \{}(U_{\alpha },\varphi _{\alpha }){\big \}}$ map na $M,$ które stanowią pokrycie zbioru $M,$ tj. $\bigcup U_{\alpha }=M,$ nazywany jest atlasem rozmaitości $M.$

Jeśli przeciwdziedziny wszystkich map są $n$-wymiarowymi przestrzeniami euklidesowymi o tym samym wymiarze $n,$ to o rozmaitości $M$ mówimy, że jest rozmaitością $n$-wymiarową.

Własność atlasu

Każdy podzbiór przestrzeni euklidesowej ma atlas przeliczalny (twierdzenie Lindelöfa).

Atlas gładki. Atlasy zgodne. Atlas maksymalny.

1) Atlasem gładkim na $M$ nazywa się atlas, dla którego żąda się dodatkowo, by dla dowolnych dwóch nakładających się map na $M$ przekształcenie przejścia między nimi było zgodne w sposób gładki.

2) Atlasy ${\mathcal {A}}$ oraz ${\mathcal {B}}$ na $M$ nazywa się zgodnymi w sposób gładki, jeśli wszystkie mapy z ${\mathcal {A}},$ które nakładają się na mapy z ${\mathcal {B}},$ są zgodne w sposób gładki.

3) Atlas ${\mathcal {A}}\cup {\mathcal {B}}$ utworzony z atlasów ${\mathcal {A}}$ oraz ${\mathcal {B}}$ zgodnych w sposób gładki również jest atlasem gładkim na $M.$

4) Atlasem maksymalnym nazywa się relację równoważności atlasów zgodnych w sposób gładki.

5) Rozmaitości $M$ wraz z atlasem maksymalnym nazywa się rozmaitością o gładkiej strukturze.

Istnieją przykłady rozmaitości topologicznych wyższych wymiarów mające wiele różnych struktur gładkich. Jednym z pierwszych przykładów było odkrycie Johna Milnora sfery egzotycznej – 7-rozmaitości homeomorficznej, lecz nie dyfeomorficznej z 7-sferą.

W ogólności działanie na atlasach maksymalnych rozmaitości jest niewygodne; do pracy wystarczy wybrać jeden atlas gładki. Atlasy maksymalne potrzebne są do jednoznacznego zdefiniowania przekształceń gładkich z jednej rozmaitości w drugą.

Struktura niegładka i analityczna

Wymagania różniczkowalności funkcji przejścia można osłabić, wymagając jedynie, by były one różniczkowalne w sposób ciągły tylko $k$-krotnie; można jest także wzmocnić, aby były analityczne (w sensie rzeczywistym). Daje to odpowiednio strukturę C^k lub strukturę analityczną na rozmaitości zamiast struktury gładkiej.

Podobnie definiuje się struktury różniczkowe na rozmaitości zespolonej, wymagając, by przekształcenia przejścia były holomorficzne.

Zobacz też

• dyfeomorfizm
• pierścień bordyzmu

Bibliografia

• John M. Lee: Introduction to Smooth Manifolds. Springer-Verlag, 2006. ISBN 978-0-387-95448-6. Brak numerów stron w książce
• Mark R. Sepanski: Compact Lie Groups. Springer-Verlag, 2007. ISBN 978-0-387-30263-8. Brak numerów stron w książce

Linki zewnętrzne

• ToddT. Rowland ToddT., Atlas, [w:] MathWorld, Wolfram Research [dostęp 2020-12-14]  (ang.).