Algorytm sterowania sinusoidalnego

Algorytm sterowania sinusoidalnego stosowany jest do sterowania układem łańcuchowym (robotem). Pozwala on odpowiedzieć na pytanie: „Jakie sterowanie należy użyć, aby wszystkie współrzędne osiągnęły zadaną wartość”.

Układ łańcuchowy sterowany jest poprzez dwa sygnały $u.$ Przy czym niezależnie sterowane są tylko dwie pierwsze współrzędne. Pozostałe współrzędne zależne są od wartości współrzędnych niezależnych oraz od wartości sygnału sterującego. Algorytm sterowania sinusoidalnego proponuje wysterowanie osobno każdej współrzędnej zaczynając od $x_{1}$ i $x_{2},$ a kończąc na $x_{n}.$

Pierwszy krok

Przykład sterowania dla trzech zmiennych, I i II oznaczają numer kroku.

Pierwszy krok polega na wysterowaniu $x_{1}$ i $x_{2}$ tak, aby osiągnęły one zadaną wartość. W tym celu wyznaczana jest stała wartość sterowania. Następnie wyznaczana jest wartość pozostałych współrzędnych. Będzie to wartość początkowa, od której zacznie się drugi krok. W pierwszym kroku następuje także podział zadanego czasu T na $n-1$ części $([0,t_{1},t_{2},\dots ,T]).$ W każdej kolejnej części będzie powtarzany krok drugi.

Sterowanie:

$u_{1}={\frac {x_{1}(T)-x_{1}(0)}{\tau }}=\mathrm {const} ,$

$u_{2}={\frac {x_{2}(T)-x_{2}(0)}{\tau }}=\mathrm {const} .$

Przykładowy układ i współrzędna zależna:

$x_{1}'=u_{1},$

$x_{2}'=u_{2},$

$x_{3}'=x_{2}u_{1}.$

Wykonuje się całkowanie drugiego wzoru, przez co otrzymuje się:

$x_{2}(t)-x_{2}(0)=u_{2}t.$

Wzór ten jest podstawiany do trzeciego wzoru:

$x_{3}'=x_{2}u_{1}=[x_{2}(0)+u_{2}t]u_{1},$

$x_{3}(\tau )=x_{3}(0)+\int \limits _{0}^{\tau }[x_{2}(0)u_{1}+u_{1}u_{2}s]\,ds.$

Drugi krok

Po wyznaczeniu wartości początkowej kolejnej współrzędnej przystępuje się do wyszukania sterowań, które pozwolą ustawić współrzędną na jej zadanym położeniu, a także zapewnią, że poprzednie współrzędne będą znajdowały się w tym samym miejscu co na początku odcinka czasu. Tymi sterowaniami są sygnały sinus oraz cosinus. Są one niezależne od siebie i pozwalają uzyskać to, czego się oczekuje. Dzięki tym sygnałom kolejna współrzędna zostaje ustawiona we wskazanym miejscu, a pozostałe (po wykonaniu ruchu po okręgu) pozostają w swoim poprzednim położeniu.

Sterowanie:

$u_{1}(t)=a\sin \omega t,$

$u_{2}(t)=b\cos \omega t,$

$\omega ={\frac {2\pi }{\tau }},$

gdzie $a$ i $b$ są wartościami szukanymi.

Dowód na poprawność sterowania

Zakładając, że $x_{1},x_{2}$ znalazły się na swoich docelowych pozycjach. Należy sprawdzić czy sterowanie w czasie $[\tau ,2\tau ]{:}$

$u_{1}(t)=a\sin \omega t,$

$u_{2}(t)=b\cos \omega t,$

$\omega ={\frac {2\pi }{\tau }}$

da oczekiwany wynik, czyli $x_{1}(2\tau )=x_{1}(\tau ),$ $x_{2}(2\tau )=x_{2}(\tau ){:}$

$x_{1}(2\tau )=x_{1}(\tau )+\int \limits _{\tau }^{2\tau }asin\omega sds,$

$x_{1}(2\tau )=x_{1}(\tau )-{\frac {a}{\omega }}[\cos \omega s]_{\tau }^{2\tau },$

$x_{1}(2\tau )=x_{1}(\tau )-{\frac {a}{\omega }}\cos \omega 2\tau +{\frac {a}{\omega }}\cos \omega \tau ,$

$x_{1}(2\tau )=x_{1}(\tau )-{\frac {a}{\frac {2\pi }{\tau }}}\cos {\frac {2\pi }{\tau }}2\tau +{\frac {a}{\frac {2\pi }{\tau }}}\cos {\frac {2\pi }{\tau }}\tau ,$

$x_{1}(2\tau )=x_{1}(\tau )-{\frac {a}{\frac {2\pi }{\tau }}}+{\frac {a}{\frac {2\pi }{\tau }}}=x_{1}(\tau ).$

Powyżej przedstawiony został dowód dla pierwszej zmiennej. Podobny dowód można przeprowadzić dla drugiej zmiennej. Wynika z tego, że zastosowane sterowanie pozwala uzyskać żadaną stałość zmiennych niezależnych.

Przykład

Zakładając układ o stanie początkowym $x_{0}=(0,0,0)^{T},$ zadanym stanie końcowym $x_{T}=(2,2,{\frac {\pi }{4}})^{T}$ oraz czasie $T$ = 4, w którym należy przejść ze stanu $x_{0}$ do stanu $x_{T};$ $\tau$ będzie w tym przypadku równe 2.

Pierwszy krok, to policzenie stałego sterowania oraz wartości początkowej trzeciej współrzędnej. Obydwa sterowania są sobie równe i wynoszą: $u_{1}=u_{2}={\frac {2}{\tau }}.$ Natomiast trzecia współrzędna będzie miała wartość:

$x_{3}(\tau )=x_{3}(0)+\int \limits _{0}^{\tau }[x_{2}(0)u_{1}+u_{1}u_{2}s]ds=\int \limits _{0}^{\tau }u_{1}u_{2}sds={\frac {4}{\tau ^{2}}}{\frac {1}{2}}[s^{2}]_{0}^{\tau }=2.$

W drugim i ostatnim kroku wylicza się wartość $a$ i $b$ dla sterowań:

$x_{3}(2\tau )=x_{3}(\tau )+{\frac {ab\tau ^{2}}{4\pi }}=x_{3}(T),$

$2+{\frac {ab\tau ^{2}}{4\pi }}={\frac {\pi }{4}},$

$ab={\frac {\pi ^{2}-8\pi }{\tau ^{2}}},$

$a={\frac {\pi }{\tau }},$ $b={\frac {\pi -8}{\tau }}.$

Uwagi

Należy pamiętać o tym, że sterowanie $[0,t_{1}]$ jest stałe. Natomiast w punkcie $t_{1}$ jedno ze sterowań jest nieciągłe. Drugim problemem jest wyznaczenie odpowiednich wartości sygnałów sinus oraz cosinus (wzmocnienie), tak aby uzyskać oczekiwany efekt.

Bibliografia

• K. Tchoń, A. Mazur, I. Dulęba, R. Hossa, R. Muszyński: Manipulatory i roboty mobilne. Modele, planowanie ruchu, sterowanie, Warszawa 2000, ISBN 83-7101-427-9.