Algebra uniwersalna

Algebra uniwersalna – dział matematyki zajmujący się badaniem ogólnych struktur algebraicznych, nazywany również w niektórych publikacjach algebrą ogólną. Algebra uniwersalna wraz z teorią kategorii stanowią matematyczne podstawy teorii specyfikacji algebraicznych. Podstawowym pojęciem algebry uniwersalnej jest pojęcie algebry (nazywanej często algebrą uniwersalną; wtedy cały dział nazywa się algebrą ogólną), zbioru A wyposażonego w pewien zbiór $\Omega$ operacji n-arnych nazywany sygnaturą. Każda struktura algebraiczna (grupoid, półgrupa, grupa, pierścień, ciało itd.) jest pewną algebrą.

Algebra

Niech ${\textstyle D=\operatorname {{\bigcup }\!\!\!{\cdot }\,} _{i=0}^{n}D_{i}}$ będzie rozłączną sumą zbiorów. Elementy zbioru $D$ nazywamy symbolami i interpretujemy jako symbole działań, przy czym $d_{k}\in D_{k}$ są symbolami działań $k$-argumentowych. Algebrą nazwiemy zbiór $A$ wraz z przyporządkowaniem każdemu symbolowi $d_{k}\in D_{k}$ $k$-argumentowego działania $\phi _{k}\colon A^{k}\to A.$ Bardzo często wygodnie jest utożsamiać symbole $d_{k}$ z działaniami $\phi _{k}.$

Algebrę można zdefiniować także w następujący sposób. Parę ${\mathcal {F}}=(F,\mu ),$ gdzie $F$ jest zbiorem, a $\mu \colon F\to \mathbb {N}$ nazywa się typem algebry. Parę ${\mathcal {A}}=(A,F_{A})$ nazywa się algebrą typu ${\mathcal {F}}$ jeśli zbiory $F_{A}$ i $F$ są równoliczne i każdemu $f\in F$ odpowiada $f_{A}\in F_{A}$ taki, że $f_{A}\colon A^{\mu (f)}\to A.$ Element $f_{A}$ nazywa się działaniem lub operacją $\mu (f)$-argumentową.

Przykłady algebr

Półgrupa

Algebrę $G$ w której $D_{0}=\emptyset ,\ D_{1}=\emptyset ,\ D_{2}=\{\circ \},$ a ponadto działanie $\circ$ jest łączne, tzn. dla każdych $a,b,c\in G$ zachodzi

$(a\circ b)\circ c=a\circ (b\circ c)$

nazywa się półgrupą.

Grupa

Algebrę $G$ w której $D_{0}=\{e\},\ D_{1}=\{^{-1}\},\ D_{2}=\{\circ \},$ działanie $\circ$ jest łączne, a ponadto dla każdego $a\in G$

$a\circ e=a,$

$a\circ a^{-1}=e$

nazywa się grupą.

Krata

Krata to algebra $A$ w której $D_{0}=\emptyset ,\ D_{1}=\emptyset \ D_{2}=\{\lor ,\land \},$ a ponadto dla każdych $x,y,z\in A$

1.	$x\land x=x$	$x\lor x=x$
2.	$(x\land y)\land z=x\land (y\land z)$	$(x\lor y)\lor z=x\lor (y\lor z)$
3.	$x\land y=y\land x$	$x\lor y=y\lor x$
4.	$(x\land y)\lor y=y$	$(x\lor y)\land y=y$

Podalgebra

Podalgebrą algebry $A$ z działaniami $F_{A}$ nazywa się niepusty zbiór $B\subseteq A$ taki, że dla każdego działania $\phi \in F_{A}$ obcięcie $\phi |_{B}$ jest działaniem w $B.$

Kongruencje

Relację równoważności $\equiv$ w algebrze $A$ nazywa się kongruencją jeśli dla każdego $d_{k}\in D_{k}$ i dla każdych $x_{1},\dots ,x_{k},y_{1},\dots ,y_{k}\in A$

$x_{1}\equiv y_{1}\wedge x_{2}\equiv y_{2}\wedge \ldots \wedge x_{k}\equiv y_{k}\Rightarrow d_{k}(x_{1},x_{2},\dots ,x_{k})\equiv d_{k}(y_{1},y_{2},\dots ,y_{k}).$

Algebra ilorazowa

Mając kongruencję $\equiv$ w algebrze $A$ można skonstruować algebrę tego samego typu co $A.$ Niech $A/_{\equiv }$ będzie zbiorem ilorazowym. Definiujemy $B:=A/_{\equiv }$ oraz $\phi _{\equiv }\colon B^{k}\to B$ wzorem

$\phi _{\equiv }([x_{1}],[x_{2}],\dots ,[x_{k}]):=[\phi (x_{1},x_{2},\dots ,x_{k})]$

dla $k$-argumentowego działania $\phi .$ $B$ z tak zdefiniowanymi działaniami zazywamy algebrą ilorazową. Działania $\phi _{\equiv }$ są dobrze określone, tzn. nie zależą od wyboru reprezentantów $x_{1},\dots ,x_{k}.$

Homomorfizm algebr

Homomorfizmem algebr $A$ i $B$ ze zbiorem symboli ${\textstyle D=\operatorname {{\bigcup }\!\!\!{\cdot }\,} _{i=0}^{n}D_{i}}$ nazywa się funkcję $\phi \colon A\to B$ taką, że dla każdego $d_{k}\in D_{k}$ i dla każdych $x_{1},x_{2},\dots ,x_{k}\in A$

$\phi (d_{k}(x_{1},x_{2},\dots ,x_{k}))=d_{k}(\phi (x_{1}),\phi (x_{2}),\dots ,\phi (x_{k})).$

Zobacz też

• algebra

Bibliografia

• Burris, Stanley N., and H.P. Sankappanavar, H.P., 1981. A Course in Universal Algebra. Springer-Verlag. ISBN 3-540-90578-2. (monografia dostępna w sieci)
• А.Г. Курош: Общая алгебра. Лекции 1969-1970 учебного года. Wyd. 1. Наука, 1974. Brak numerów stron w książce
• Л. А. Скорняков: Элементы общей алгебры. Wyd. 1. Наука, 1983. Brak numerów stron w książce

Linki zewnętrzne

• Elementy algebry uniwersalnej
• Eric W.E.W. Weisstein Eric W.E.W., Universal Algebra, [w:] MathWorld, Wolfram Research  (ang.). [dostęp 2023-06-01].