Ślimak Teodorosa

Ślimak Teodorosa, spirala Teodorosa – konstrukcja geometryczna, pozwalająca stworzyć odcinek o długości równej pierwiastkowi z danej liczby naturalnej. Zasada konstrukcji opiera się na twierdzeniu Pitagorasa. Nazwa konstrukcji pochodzi od imienia greckiego matematyka i filozofa, Teodorosa z Cyreny. Autorem konstrukcji był Jakob Heinrich Anderhub, matematyk amator, który opisał ją w pracy Joco-Seria, aus den Papieren eines reisenden Kaufmanns z 1941 roku.

Ślimak Teodorosa

Opis konstrukcji

1. Budujemy trójkąt prostokątny o przyprostokątnych długości 1. Przeciwprostokątna trójkąta ma długość ${\sqrt {2}}.$
2. Konstruujemy kolejny trójkąt prostokątny, którego jedną przyprostokątną jest przeciwprostokątna trójkąta z pkt. 1, a druga przyprostokątna ma długość 1. Przeciwprostokątna otrzymanego trójkąta ma długość ${\sqrt {3}}.$
3. Czynność tę powtarzamy, tworząc kolejne trójkąty prostokątne. Za każdym razem jedna z przyprostokątnych jest zarazem przeciwprostokątną trójkąta z poprzedniego kroku, a druga ma długość 1. Długości przeciwprostokątnych są pierwiastkami kolejnych liczb naturalnych.

Konstrukcja w 17 kroku prowadzi do nakładania się trójkątów na siebie, jak na ilustracji obok. Jeśli będzie kontynuowana, trzecia grupa trójkątów podwójnie nakładających się na siebie nastąpi w 54. kroku itd.

Najprostsze własności

$n$-ty trójkąt konstrukcji

Niech $\varphi _{n}$ oznacza kąt ostry $n$-tego trójkąta o wierzchołku w środku całej konstrukcji. Wówczas:

$\operatorname {tg} \varphi _{n}={\frac {1}{\sqrt {n}}}.$

Stąd oczywiście:

$\varphi _{n}=\operatorname {arctg} {\frac {1}{\sqrt {n}}}.$

Suma

$\sum _{k=1}^{n}\varphi _{k}$

wyznacza kąt dla przeciwprostokątnej $n$-tego trójkąta o długości ${\sqrt {n+1}}$ względem przyprostokątnej o długości ${\sqrt {1}}$ 1-go trójkąta poprowadzonej ze środka konstrukcji.

W 1958 roku Erich Teuffel udowodnił, że żadne dwie przeciwprostokątne nie pokryją się, tzn.

$\sum _{k=1}^{n_{1}}\varphi _{k}\neq \sum _{k=1}^{n_{2}}\varphi _{k}$ dla $n_{1}\neq n_{2}$.

Historia

Rozszerzony ślimak Teodorosa.

Konstrukcja zwana ślimakiem Teodorosa była niekiedy przypisywana Teodorosowi jako stosowana przez niego metoda wyznaczania odcinka o długości proporcjonalnej do pierwiastka kwadratowego z całkowitej wielokrotności danego odcinka jednostkowego. W rzeczywistości pitagorejczycy, którzy opracowali i rozwinęli metodę kwadratury wielokątów, potrafili „pierwiastkować” odcinki o dowolnej rzeczywistej nieujemnej długości. Np. kwadratura dowolnego trójkąta o podstawie 2 i wysokości $h$ prowadziła „w jednym kroku” do konstrukcji kwadratu o boku ${\sqrt {h}}\ (h\in R^{+}),$ podczas gdy metoda użyta w ślimaku Teodorosa jest niepraktyczna i żmudna – wyznaczenie odcinka długości ${\sqrt {n}}\ (n\in N)$ wymaga $n$-krotnego powtórzenia każdego kroku konstrukcji.

Ślimak Teodorosa jest znany głównie dzięki fragmentowi dialogu Platona Teajtet będącego relacją z badań Teodorosa nad niewymiernością boków kwadratów o danych całkowitych polach.

Wzmianka o siedemnastostopowym kwadracie w zdaniu

...i tak po jednym każdy kwadrat brał pod uwagę aż do siedemnastostopowego; na tym się jakoś zatrzymał.
Platon Parmenides. Teajtet, przeł. Władysław Witwicki. Kęty: Wydawnictwo Antyk, 2002, s. 99.

wywoływała wiele domysłów i spekulacji próbujących znaleźć przyczynę zatrzymania się Teodorosa w swoich badaniach właśnie na kwadracie o polu 17.

Przez zbieżność tej siedemnastki z siedemnastym krokiem konstrukcji ślimaka Teodorosa, w którym trójkąt nakłada się na pierwszy już narysowany, konstrukcja ta była traktowana jako jedno z możliwych wyjaśnień tego fragmentu z Platona.

Funkcja Teodorosa i stała Teodorosa

Linia łamana, utworzona przez krótsze przyprostokątne opisanych wyżej trójkątów prostokątnych (przyprostokątne o długości 1), bywa niekiedy nazywana dyskretną spiralą Teodorosa. Philip Davis określił położenie wierzchołków tej spirali na płaszczyźnie zespolonej poprzez równanie rekurencyjne:

$z_{0}=1,\;\;z_{n+1}=z_{n}+i{\frac {z_{n}}{|z_{n}|}},$

gdzie $i$ jest jednostką urojoną, $|z|$ oznacza moduł liczby zespolonej $z.$

Wzór

$|z_{n}|={\sqrt {n+1}}$

łatwo można wykazać indukcyjnie, bo $|z_{0}|={\sqrt {1}}=1$ oraz

$|z_{n}|=\left|z_{n-1}+{\frac {iz_{n-1}}{|z_{n-1}|}}\right|=|z_{n-1}|\cdot \left|1+{\frac {i}{|z_{n-1}|}}\right|\,{\stackrel {*}{=}}\,{\sqrt {n}}\cdot \left|1+{\frac {i}{\sqrt {n}}}\right|=|{\sqrt {n}}+i|={\sqrt {n+1}},$

w miejscu oznaczonym gwiazdką (*) wykorzystano założenie indukcyjne $|z_{n-1}|={\sqrt {n}}.$

Korzystając z powyższej własności, Davis przekształcił wzór rekurencyjny w postaci iteracyjnej

$z_{n}=\prod _{k=1}^{n}\left(1+{\frac {i}{\sqrt {k}}}\right).$

Zagadnienie, jak zinterpolować wierzchołki dyskretnej spirali Teodorusa za pomocą krzywej gładkiej, postawił i rozwiązał Davis, wykorzystując analogię z wzorem Eulera dla funkcji gamma jako rozszerzenia silni. Jako rozwiązanie zagadnienia przedstawił wzór:

$T(x)=\prod _{k=1}^{\infty }{\frac {1+{\frac {i}{\sqrt {k}}}}{1+{\frac {i}{\sqrt {k+x}}}}},$

wykazał jego zbieżność dla $x>-1$ i zaproponował dla niego nazwę funkcja Teodorosa.

Stałą Teodorosa $T$ nazwał Davis nachylenie (gradient) funkcji Teodorosa w punkcie $(0,0)$:

${\begin{aligned}T&=\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {1}{(k+1){\sqrt {k}}}}\\&=\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {1}{k^{3/2}+k^{1/2}}}\\&={\frac {1}{2}}-\sum _{k=1}^{\infty }(-1)^{k}[\,\zeta (k+{\frac {1}{2}})-1\,]\\&=1{,}8600250...,\end{aligned}}$

gdzie $\zeta (z)$ jest funkcją dzeta Riemanna.

Stosując zaawansowane metody analityczne i numeryczne, stałą Teodorosa do 50. miejsca po przecinku obliczył Walter Gautschi.

Bibliografia

• Philip J. Davis: Spirals. From Theodorus to Chaos. Wellesley: A. K. Peters, 1993. ISBN 1-56881-010-5.

Linki zewnętrzne

• Konstrukcja ślimaka Teodorosa. blogiceo.nq.pl. [dostęp 2017-07-13]. [zarchiwizowane z tego adresu (2011-05-04)]. (pol.).
• Eric W.E.W. Weisstein Eric W.E.W., Theodorus Spiral, [w:] MathWorld, Wolfram Research [dostęp 2017-07-24]  (ang.).