Łańcuch kinematyczny

Łańcuch kinematyczny – część mechanizmu w postaci kilku połączonych ze sobą członów tworzących jedną lub wiele par kinematycznych, realizujący zdefiniowane przeniesienie ruchu.

Łańcuchy kinematyczne dzielą się na:

• kinematyczne płaskie,
• kinematyczne przestrzenne.

Własności ogólne

Podstawową cechą łańcucha kinematycznego jest jego ruchliwość. Ruchliwość określa ile stopni swobody posiada łańcuch, to znaczy ile różnych typów ruchu jest w stanie przenieść.

Ruchliwość $w$ może być:

$w=0\;{}$ lub ${}\;w<0\quad {}$	– łańcuch sztywny
$w=1$	– łańcuch normalny
$w>1$	– łańcuch swobodny

Ruchliwość łańcucha oblicza się ze wzoru strukturalnego (kryterium Czebszowa–Grüblera–Kutzbacha):

• dla łańcucha przestrzennego:

$w=6(n-1)-p_{1}-2p_{2}-3p_{3}-4p_{4}-5p_{5},$

uwaga: od liczby ogniw $n$ odejmuje się 1 w przypadku, gdy nie zalicza się do niej nieruchomej podstawy.

• dla łańcucha płaskiego:

$w=3n-p_{4}-2p_{5},$

gdzie:

$n$ – liczba ogniw,

$p_{n}$ – ilość par kinematycznych $n$-tej klasy.

Interpretacja ruchliwości obliczonej ze wzoru strukturalnego wymaga pewnego doświadczenia, w szczególności gdy wskazuje on, iż łańcuch kinematyczny jest sztywny. Taka sytuacja jest oczywista w przypadku a. W pewnych przypadkach jednak, przy szczególnej geometrii, łańcuch teoretyczne sztywny może przenosić ruch (przypadek b). Strukturalnie jest on identyczny z a, lecz występują w nim trzy geometrycznie identyczne człony co umożliwia ruch łańcucha. Para kinematyczna, która powinna łańcuch usztywniać (wskazana czerwoną strzałką) jest węzłem biernym. Projektując mechanizm z węzłami biernymi, konstruktor musi zdawać sobie sprawę, że zużycie elementów mechanizmu, prowadzące do drobnych zmian w ich geometrii, może doprowadzić do usztywnienia mechanizmu. Łańcuch kinematyczny sztywny, aczkolwiek teoretycznie takim jest w praktyce jest stosowany jako konstrukcja służąca wyłącznie do przenoszenia obciążenia, a nie ruchu i nie jest przedmiotem teorii mechanizmów i maszyn, lecz wytrzymałości materiałów i teorii konstrukcji.

Łańcuch kinematyczny o ruchliwości równej jeden jest najczęstszym przypadkiem mechanizmu. Rodzaj ruchu członu czynnego determinuje wtedy ruch członu biernego i wszystkich członów pośredniczących. Rysunek c pokazuje typowy czworobok przegubowy o ruchliwości równej jeden.

W pewnych przypadkach wymagane jest by mechanizm miał większą ruchliwość. Typowym tego przykładem jest przekładnia obiegowa d, lub mechanizm kreślarski e. Istnieją przypadki, że w bardzo odpowiedzialnych mechanizmach powiększa się ruchliwość normalnie zabezpieczoną bezpiecznikiem, by uniknąć samousztywnienia się mechanizmu w wyniku zużycia lub odkształcenia elementów. Gdy sytuacja taka zaistnieje bezpiecznik uruchamia dodatkową parę. Mechanizm może wtedy stracić swoją funkcjonalność, lecz unika się wtedy trwałego zniszczenia mechanizmu lub środowiska w jakim pracuje.

Analiza ruchliwości

Badanie ruchliwości łańcucha kinematycznego może być przeprowadzone analitycznie. Ograniczając analizę do przypadku łańcuchów płaskich (dwuwymiarowych) założymy, że jego ogniwa są prętami prostymi, odkształcalnymi osiowo i połączonymi ze sobą w węzłach za pomocą idealnych przegubów. Do rozważań wprowadzimy dwa wektory

$\mathbf {d} =[d_{1},d_{2},\dots ,d_{m}]$ – liniowo niezależnych przemieszczeń węzłowych i

$\mathbf {s} =[s_{1},s_{2},\dots ,s_{n}]$ – wydłużeń/skróceń ogniw spowodowanych przemieszczeniami węzłowymi.

W celu uproszczenia zapisu wektory będziemy zapisywali albo wierszowo albo kolumnowo jeżeli nie będzie to prowadziło do nieporozumień.

Analiza ruchliwości węzłów łańcucha polega na badaniu rozwiązań układu równań

(a)${}\quad \mathbf {Ad} =\mathbf {s} .$

Macierz zgodności przemieszczeń węzłowych $\mathbf {A} ,$ występująca w tym równaniu, może być utworzona na podstawie interpretacji jej kolumn. Rozważmy mianowicie węzeł łańcucha, w którym występują dwa przemieszczenia $d_{i}$ i $d_{j}$ (rys. 1a-b). Związek (a) przyjmuje dla tego przypadku postać

$\mathbf {Ad} =\mathbf {s} \quad \to \quad {\begin{bmatrix}s_{ki}&s_{kj}\\s_{li}&s_{lj}\\s_{mi}&s_{mj}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}d_{i}\\d_{j}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}s_{k}\\s_{l}\\s_{m}\end{bmatrix}}.$

Rys. 1a-b – warunki zgodności przemieszczeń węzłowych

Elementy $s_{ki},s_{li},s_{mi}$ są wydłużeniami/skróceniami odpowiednio $k$-tego, $l$-tego i $m$-tego elementu ogniwa łańcucha, spowodowanymi przez $i$-te przemieszczenie węzłowe $d_{i}=1$ (rys. 1a). Analogicznie elementy $s_{kj},\;s_{lj},\;s_{mj}$ są skutkami spowodowanymi przez przemieszczenie węzłowe $d_{j}=1$ (rys. 1b). Elementy $s_{k},\;s_{l},\;s_{m}$ są sumarycznymi skutkami równoczesnego działania przemieszczeń $d_{i}$ i $d_{j}.$

Jeżeli wydłużeniom ogniw przypiszemy znak plus, a skróceniom – minus, to na podstawie rys. 1a-b otrzymamy

$s_{ki}=+\cos(k,i),\quad s_{li}=-\cos(l,i),\quad s_{mi}=-\cos(m,i),\quad {}$ – (rys. 1a),

$s_{kj}=+\cos(k,j),\quad s_{lj}=-\cos(l,j),\quad s_{mj}=+\cos(m,j),\quad {}$ – (rys. 1b).

W rzeczywistym łańcuchu kinematycznym jego ogniwa mają niezmienną długość, a to znaczy, że $\mathbf {s} =\mathbf {0} .$ Badaniu ruchliwości łańcucha kinematycznego należy więc poddać nie układ równań (a), lecz (b)

(b)${}\quad \mathbf {Ad} =\mathbf {0} .$

Z algebry liniowej wiadomo, że liczba liniowo niezależnych niezerowych rozwiązań takiego układu równań jest równa defektowi badanej macierzy. Pod tym terminem rozumiemy różnicę pomiędzy stopniem, a rzędem macierzy. W przypadku macierzy prostokątnych o rozmiarach $m\times n$ stopniem nazwiemy mniejszą z liczb $m$ i $n.$

Przykład 1

Dla przykładu rozważymy układ pokazany na rys. 2a.

Rys. 2a – łańcuch kinematyczny o ruchliwości $w=1.$ Rys. 2b-f – szkice ilustrujące budowanie kolumn macierzy $\mathbf {A} .$

Na podstawie rys. 2b-f kolejno budujemy kolumny macierzy $\mathbf {A} {:}$

$\mathbf {Ad} ={\begin{bmatrix}\sin(\alpha )&-\cos(\alpha )&0&0&0\\-\cos(\beta )&\sin(\beta )&\cos(\beta )&-\sin(\beta )&0\\0&0&-\sin(\gamma )&-\cos(\gamma )&0\\0&0&-\cos(\beta )&\sin(\beta )&1\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}d_{1}\\d_{2}\\d_{3}\\d_{4}\\d_{5}\end{bmatrix}}=0.$

Łatwo można sprawdzić, że przyjęcie $d_{1}=1$ pozwala wyznaczyć jednoznacznie wartości pozostałych niewiadomych przemieszczeń węzłowych, które wynoszą:

$d_{2}=\operatorname {tg} (\alpha ),$	$d_{3}={\frac {\cos(\beta )-\operatorname {tg} (\alpha )\sin(\beta )}{\cos(\beta )+\operatorname {tg} (\gamma )\sin(\beta )}},$
$d_{4}=-d_{3}\operatorname {tg} (\gamma ),\quad {}$	$d_{5}=\cos(\beta )-\operatorname {tg} (\alpha )\sin(\beta ).$

Dla łańcucha o pionowych „słupkach” $(\alpha =\gamma =0)$ otrzymuje się

$d_{1}=d_{3}=1,\quad d_{2}=d_{4}=0,\quad d_{5}=\cos(\beta ).$

Dla łańcucha o „słupkach” równoległych $(\gamma =-\alpha )$ jest

$d_{1}=d_{3}=1,\quad d_{2}=\operatorname {tg} (\alpha ),\quad d_{5}=\cos(\beta )-\operatorname {tg} (\alpha )\sin(\beta ).$

Dla łańcucha z „ryglem” poziomym $(\beta =0)$

$d_{1}=d_{3}=1,\quad d_{2}=\operatorname {tg} (\alpha ),\quad d_{4}=-\operatorname {tg} (\gamma ),\quad d_{5}=1.$

Przykład 2

W przypadku łańcuchów wielokrotnie przesuwnych sprawa nieco się komplikuje co zilustrujemy na przykładzie łańcucha „piętrowego” z rys. 3a. Wygenerowana kolumnowo macierz zgodności przemieszczeń węzłowych $\mathbf {A}$ ma postać

$\mathbf {A} ={\begin{bmatrix}0&-1&0&0&0&0&0&0\\0&0&0&-1&0&0&0&0\\-1&0&1&0&0&0&0&0\\0&1&0&0&0&-1&0&0\\0&0&0&1&0&0&0&-1\\0&0&0&0&-1&0&1&0\end{bmatrix}}.$

Rys. 3a – schemat łańcucha o ruchliwości w=2. Rys. 3b-c – dwa rodzaje przemieszczeń bazowych. Rys. d – nowy rodzaj przemieszczenia (przykładowa kombinacja liniowa).

Rozwiązując układ równań $\mathbf {Ad} =\mathbf {0}$ za pomocą algorytmu Gaussa-Jordana z pełnym wyborem elementów wiodących stwierdzamy, że ma on rozwiązanie

$d_{1}=d_{3},\quad d_{5}=d_{7},\quad d_{2}=d_{4}=d_{6}=d_{8}=0.$

Oznacza to, że przemieszczenia $d_{3}$ i $d_{7}$ mogą spełniać rolę zmiennych swobodnych. Dzięki temu otrzymujemy w tym przypadku dwa rozwiązania podstawowe (bazowe)

$\mathbf {d_{1}^{*}} =[1\;0\;1\;0\;0\;0\;0\;0],\quad \mathbf {d_{2}^{*}} =[0\;0\;0\;0\;1\;0\;1\;0].$

Dowolna kombinacja liniowa tych rozwiązań o postaci

$\mathbf {d_{1}^{*}} =\alpha \mathbf {d_{1}^{*}} +\beta \mathbf {d_{2}^{*}} ,\quad |\alpha |+|\beta |\neq 0,$

jest nowym rozwiązaniem równania $\mathbf {Ad} =\mathbf {0} .$

Na rys. 3b-c pokazano mechaniczne interpretacje rozwiązań bazowych $\mathbf {d_{1}^{*}}$ i $\mathbf {d_{2}^{*}} ,$ natomiast rys. 3d przedstawia przykładowe nowe rozwiązanie w postaci najprostszej kombinacji liniowej

$\mathbf {d_{3}^{*}} =\mathbf {d_{1}^{*}} +\mathbf {d_{2}^{*}} =[1\;0\;1\;0\;1\;0\;1\;0].$

Przykład 3

Generowanie macierzy zgodności przemieszczeń węzłowych $\mathbf {A}$ można przeprowadzić według takiego algorytmu postępowania, który bez żadnych zmian pozwala analizować ruchliwość zarówno łańcuchów płaskich, jak i przestrzennych. Podstawą tego algorytmu jest spostrzeżenie, że zmiana długości $s_{ij}$ ogniwa $i$ wywołana jednostkowym przemieszczeniem węzła $j$ wyraża się prostym iloczynem skalarnym

(c)${}\quad s_{ij}=\pm \;{\vec {e}}_{i}\cdot {\vec {d}}_{j}=\pm \cos(i,j),$

w którym przez ${\vec {e}}_{i}$ oznaczono wersor kierunku ogniwa, a przez ${\vec {d}}_{j}$ wersor kierunku przemieszczenia węzłowego.

Znak we wzorze (c) przypiszemy według następującego kryterium:

(A) – gdy ogniwo $i$ ma kierunek „do węzła” $j,$ wtedy we wzorze (c) obowiązuje znak plus. Dla ogniwa skierowanego „od węzła” przypiszemy znak minus. To kryterium znakowania we wzorze (c) wymaga przyporządkowania każdemu ogniwu $i$ konkretnego wersora kierunku ${\vec {e}}_{i}.$

W celu uproszczenia zapisu będziemy operować tylko tymi wektorami dwuwymiarowymi, które mają co najmniej jedną współrzędną niezerową (rys. 2a).

I tak dla łańcucha z przykładu 1 mamy

${\vec {e}}_{1}=[\sin(\alpha ),\;-\cos(\alpha )],\qquad {\vec {e}}_{2}=[\cos(\beta ),\;-\sin(\beta )],$

${\vec {e}}_{3}=[\sin(\gamma ),\;\cos(\gamma )],\qquad {\vec {e}}_{4}=[\cos(\beta ),\;-\sin(\beta )]$

oraz

${\vec {d}}_{1}=[1,\;0],\quad {\vec {d}}_{2}=[0,\;1],\quad {\vec {d}}_{3}=[1,\;0],\quad {\vec {d}}_{4}=[0,\;1],\quad {\vec {d}}_{5}=[\cos(\beta ),\;-\sin(\beta )].$

Na podstawie wzoru (c) otrzymujemy

$\mathbf {A} ={\begin{bmatrix}+{\vec {e}}_{1}\cdot {\vec {d}}_{1}&+{\vec {e}}_{1}\cdot {\vec {d}}_{2}&0&0&0\\-{\vec {e}}_{2}\cdot {\vec {d}}_{1}&-{\vec {e}}_{2}\cdot {\vec {d}}_{2}&+{\vec {e}}_{2}\cdot {\vec {d}}_{3}&+{\vec {e}}_{2}\cdot {\vec {d}}_{4}&0\\0&0&-{\vec {e}}_{3}\cdot {\vec {d}}_{3}&-{\vec {e}}_{3}\cdot {\vec {d}}_{4}&0\\0&0&-{\vec {e}}_{4}\cdot {\vec {d}}_{3}&-{\vec {e}}_{4}\cdot {\vec {d}}_{4}&+{\vec {e}}_{4}\cdot {\vec {d}}_{5}\end{bmatrix}}.$

Po obliczeniu iloczynów skalarnych możemy stwierdzić, że otrzymany wynik jest identyczny z uzyskanym w przykładzie 1.

Rys. 4a – przestrzenny łańcuch kinematyczny

Stosując to wektorowe podejście przeprowadzimy teraz analizę łańcucha przestrzennego z rys. 4a. Jedyna różnica będzie polegać tylko na tym, że wektory ${\vec {e}}_{i}$ i ${\vec {d}}_{j}$ będą teraz miały po trzy współrzędne.

Współrzędne wersorów dla poszczególnych ogniw można obliczyć na podstawie geometrii układu określonej wysokością ${\overline {OS}}=L$ i połową przekątnej kwadratowej podstawy ${\overline {OA}}=L.$

${\vec {e}}_{1}=[-1/2\;\;1/2\;\;{\sqrt {2}}/2],\quad {\vec {e}}_{2}=[-1/2\;\;-1/2\;\;{\sqrt {2}}/2],$

${\vec {e}}_{3}=[1/2\;\;-1/2\;\;{\sqrt {2}}/2],\quad {\vec {e}}_{4}=[1/2\;\;1/2\;\;{\sqrt {2}}/2],$

${\vec {d}}_{1}=[1\;\;0\;\;0],\quad {\vec {d}}_{2}=[0\;\;1\;\;0],\quad {\vec {d}}_{3}=[0\;\;0\;\;1],\quad {\vec {d}}_{4}=[1\;\;0\;\;0],$

${\vec {d}}_{5}=[0\;\;1\;\;0],\quad {\vec {d}}_{6}=[1\;\;0\;\;0],\quad {\vec {d}}_{7}=[0\;\;1\;\;0].$

Elementy macierzy $\mathbf {A}$ obliczamy na podstawie wzoru (c) z przypisaniem znaków według kryterium (A):

(d)${}\quad \mathbf {A} ={\begin{bmatrix}-1/2&1/2&{\sqrt {2}}/2&0&0&0&0\\-1/2&-1/2&{\sqrt {2}}/2&0&0&1/2&1/2\\1/2&-1/2&{\sqrt {2}}/2&-1/2&1/2&0&0\\1/2&1/2&{\sqrt {2}}/2&0&0&0&0\end{bmatrix}}.$

Rozważymy teraz kilka różnych przypadków:

Przypadek 1

Załóżmy, że $d_{4}=d_{5}=d_{6}=d_{7}=0.$ Oznacza to, że węzły B i C są unieruchomione i układ równań $\mathbf {Ad} =\mathbf {0}$ ma w tym przypadku postać

$\mathbf {A} ={\begin{bmatrix}-1/2&1/2&{\sqrt {2}}/2\\-1/2&-1/2&{\sqrt {2}}/2\\1/2&-1/2&{\sqrt {2}}/2\\1/2&1/2&{\sqrt {2}}/2\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}d_{1}\\d_{2}\\d_{3}\end{bmatrix}}=\mathbf {0} .$

Łatwo można sprawdzić, że istnieje taki minor $\mathbf {M} (3\times 3)$ macierzy $\mathbf {A} ,$ że $\operatorname {Det} (\mathbf {M} )\neq 0.$ Wynika stąd wniosek, że jedynymi rozwiązaniami równania $\mathbf {Ad} =\mathbf {0}$ są w tym przypadku $d_{1}=d_{2}=d_{3}=0.$ Oznacza to, że unieruchomienie węzłów B i C powoduje unieruchomienie całego łańcucha (brak ruchliwości).

Przypadek 2

Uwzględnimy teraz występowanie w węzłach B i C przemieszczeń tylko w kierunku osi $0x_{2}$ tzn. przyjmiemy, że $d_{4}=d_{6}=0.$ Wynika stąd taka postać układu równań

(e)${}\quad \mathbf {A} ={\begin{bmatrix}-1/2&1/2&{\sqrt {2}}/2&0&0\\-1/2&-1/2&{\sqrt {2}}/2&0&1/2\\1/2&-1/2&{\sqrt {2}}/2&1/2&0\\1/2&1/2&{\sqrt {2}}/2&0&0\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}d_{1}\\d_{2}\\d_{3}\\d_{5}\\d_{7}\end{bmatrix}}=\mathbf {0} .$

Przyjmijmy, że zostało wywołane przemieszczenie $d_{5}=1.$ Przyjęcie to umożliwia jednoznaczne rozwiązanie układu równań (e)

$\mathbf {d} =[d_{1}\;\;d_{2}\;\;d_{3}\;\;d_{5}\;\;d_{7}]=[0\;\;\;1/2\;\;-{\sqrt {2}}/4\;\;\;1\;\;\;1],$

co oznacza, że łańcuch ma jeden stopień swobody ruchu.

Przypadek 3

Przy tym samym założeniu co w przypadku 2, tzn. że $d_{4}=d_{6}=0$ wymusimy przemieszczenie $d_{3}=1.$ I tym razem istnieje jednoznaczne rozwiązanie

$\mathbf {d} =[d_{1}\;\;d_{2}\;\;d_{3}\;\;d_{5}\;\;d_{7}]=[0\;\;-{\sqrt {2}}\quad 1\;\;-2{\sqrt {2}}\;\;-2{\sqrt {2}}].$

Obydwa rozwiązania z przypadków 2 i 3 różnią się tylko stałym mnożnikiem $-2{\sqrt {2}}$ co tylko potwierdza podobieństwo obu stanów przemieszczenia w układzie o jednym stopniu swobody ruchu.

Algorytm alternatywny

Przytoczymy teraz inny, statyczny sposób generowania macierzy $\mathbf {A} .$ Skorzystamy w tym celu z równań równowagi węzłów wyciętych z łańcucha, które można zapisać w postaci

(f)${}\quad \mathbf {BS} =\mathbf {D} ,$

przy czym

$\mathbf {S} =[S_{1},S_{2},\dots ,S_{n}]\quad {}$ – jest wektorem sił osiowych w ogniwach, a

$\mathbf {D} =[D_{1},D_{2},\dots ,D_{m}]\quad {}$ – wektorem sił węzłowych.

Rys. 5a-b – Statyczny wariant analizy ruchliwości łańcucha kinemtycznego

Dla przykładu rozważymy równanie równowagi sił działających na wycięty węzeł $W$ (rys. 5a) w kierunku określonym przez jego wersor ${\vec {d}}_{i}=1.$ Równanie to otrzymamy sumując rzuty na ten kierunek wszystkich sił $S_{\alpha },\;\alpha \in (k,l,m).$

$D_{i}=+({\vec {d}}_{i}\cdot {\vec {e}}_{k})S_{k}-({\vec {d}}_{i}\cdot {\vec {e}}_{l})S_{l}-({\vec {d}}_{i}\cdot {\vec {e}}_{m})S_{m}=s_{ik}S_{k}-s_{il}S_{l}-s_{im}S_{m}.$

Podobnie mamy dla kierunku ${\vec {d}}_{j}$ (rys. 5b)

$D_{j}=+({\vec {d}}_{j}\cdot {\vec {e}}_{k})S_{k}-({\vec {d}}_{j}\cdot {\vec {e}}_{l})S_{l}-({\vec {d}}_{j}\cdot {\vec {e}}_{m})S_{m}=s_{jk}S_{k}-s_{jl}S_{l}-s_{jm}S_{m}.$

Dla łańcucha o $n$ ogniwach i $m$ liniowo niezależnych przemieszczeniach węzłowych macierz $\mathbf {B}$ możemy zapisać w postaci

$\mathbf {B} ={\begin{bmatrix}{\vec {d}}_{1}\!\cdot \!{\vec {e}}_{1}&{\vec {d}}_{1}\!\cdot \!{\vec {e}}_{2}&\cdots &{\vec {d}}_{1}\!\cdot \!{\vec {e}}_{n}\\{\vec {d}}_{2}\!\cdot \!{\vec {e}}_{1}&{\vec {d}}_{2}\!\cdot \!{\vec {e}}_{2}&\cdots &{\vec {d}}_{2}\!\cdot \!{\vec {e}}_{n}\\\cdots &\cdots &\cdots &\cdots \\{\vec {d}}_{m}\!\cdot \!{\vec {e}}_{1}&{\vec {d}}_{m}\!\cdot \!{\vec {e}}_{2}&\cdots &{\vec {d}}_{m}\!\cdot \!{\vec {e}}_{n}\end{bmatrix}},$

która jednak nie uwzględnia znakowania określonego przez kryterium (A).

Analogicznie możemy napisać na podstawie wzoru (c)

$\mathbf {A} ={\begin{bmatrix}{\vec {e}}_{1}\!\cdot \!{\vec {d}}_{1}&{\vec {e}}_{1}\!\cdot \!{\vec {d}}_{2}&\cdots &{\vec {e}}_{1}\!\cdot \!{\vec {d}}_{m}\\{\vec {e}}_{2}\!\cdot \!{\vec {d}}_{1}&{\vec {e}}_{2}\!\cdot \!{\vec {d}}_{2}&\cdots &{\vec {e}}_{2}\!\cdot \!{\vec {d}}_{m}\\\cdots &\cdots &\cdots &\cdots \\{\vec {e}}_{n}\!\cdot \!{\vec {d}}_{1}&{\vec {e}}_{n}\!\cdot \!{\vec {d}}_{2}&\cdots &{\vec {e}}_{n}\!\cdot \!{\vec {d}}_{m}\end{bmatrix}}.$

Wobec tego, że elementy $a_{ij}$ oraz $b_{ij}$ macierzy $\mathbf {A}$ i $\mathbf {B}$ spełniają związki

$a_{ij}={\vec {e}}_{i}\!\cdot \!{\vec {d}}_{j}={\vec {d}}_{j}\!\cdot \!{\vec {e}}_{i}=b_{ji}$

otrzymujemy istotny związek

$\mathbf {B} ^{T}=\mathbf {A}$

pozwalający generować elementy macierzy $\mathbf {A}$ na dwa równorzędne sposoby.

Zobacz też

• rigging