Współczynnik sprężystości objętościowej

Współczynnik sprężystości objętościowej, moduł Helmholtza, moduł odkształcalności objętościowej – wielkość uzależniająca odkształcenie objętościowe materiału od naprężenia jakie w nim występuje. Opisuje ona odporność ciała izotropowego na zmianę objętości, gdy jest ono poddane kompresji izometrycznej (jednolitej w każdym kierunku).

Ilustracja kompresji izometrycznej

Wpływ zawartości składników na współczynnik sprężystości szkła

Moduł sprężystości objętościowej $K$ formalnie określa wyrażenie:

$K=-V{\frac {\partial p}{\partial V}}$

gdzie:

$p$ – ciśnienie; $V$ – objętość; $\partial p/\partial V$ – pochodna cząstkowa ciśnienia względem objętości.

Niektóre materiały mają ujemny współczynnik sprężystości objętościowej. Przyczyną tego jest przesuwanie się elementów kryształu pod wpływem ciśnienia lub zmiana wiązań chemicznych.

Zależności

Przykładem niech będzie kula żelazna, jej współczynnik sprężystości 160 GPa (gigapaskali), co znaczy, że do zmniejszenia jej objętości o 0,5% potrzebne jest ciśnienie 0,005×160 GPa = 0,8 GPa. Jeżeli kulę tę natomiast poddamy ciśnieniu 100 MPa, jej objętość zmniejszy się 100 MPa/160 GPa razy = 0,000625 objętości początkowej, czyli 0,0625%.

W technice używa się także inne moduły do opisu deformacji materiału w wyniku różnych rodzajów nacisku: moduł Younga opisuje reakcję na liniowe naprężenie, moduł Kirchhoffa opisuje zachowanie się ciała przy ścinaniu. W cieczach współczynniki te nie mają zastosowania, tylko moduł ściśliwości jest miarodajny. Dla anizotropowych ciał stałych, jak drewno i papier, współczynniki te nie zawierają wystarczających informacji, aby opisać zachowanie tych ciał, i trzeba korzystać z pełnego prawa Hooke opisanego tensorami.

Proces zmiany objętości ciała jest procesem termodynamicznym, dlatego współczynnik sprężystości objętościowej jest wielkością z zakresu termodynamiki, co czyni niezbędnym wskazanie jak temperatura danego ciała zmienia się w wyniku wywierania nacisku: rozróżnia się np. współczynnik sprężystości objętościowej w stałej temperaturze $(K_{T}),$ współczynnik sprężystości objętościowej w stałej entalpii (proces adiabatyczny $K_{S}$), jak i dla innych procesów. W praktyce różnice między procesami mają znaczenie jedynie w przypadku gazów.

Współczynnik sprężystości objętościowej dla przykładowych materiałów [Pa]
woda	2,2×109 (wartość wzrasta z ciśnieniem)
powietrze	1,42×105 (adiabatyczny)
powietrze	1,01×105 (w stałej temperaturze)
stal	1,6×1011
szkło	3,5×1010 do 5,5×1010
diament	4,42×1011
hel w formie stałej	5×107 (w przybliżeniu)

W przypadku gazów adiabatyczny współczynnik sprężystości objętościowej $K_{S}$ jest przybliżony następującym wyrażeniem:

$K_{S}=\kappa \,p$

gdzie:

$\kappa$ – wykładnik adiabaty; $p$ – ciśnienie.

W przypadku cieczy i ciał stałych, współczynnik sprężystości objętościowej $K$ i gęstość $\rho$ określa prędkość dźwięku $c$ (podłużnych fale ciśnienia), zgodnie z równaniem:

$c={\sqrt {\frac {K}{\rho }}}.$

Substancje w stanie stałym oprócz fal podłużnych przenoszą też fale poprzeczne, ich prędkość zależy od modułu sprężystości postaciowej.

Związek z innymi współczynnikami

Współczynnik sprężystości objętościowej $(K)$ to odwrotność współczynnika ściśliwości $(\beta )$:

$\beta ={\frac {1}{K}}$

gdzie:

$\beta$ – współczynnik ściśliwości [Pa⁻¹]; $K$ – współczynnik sprężystości objętościowej [Pa].

Współczynnik sprężystości objętościowej związany jest z modułem Younga i współczynnikiem Poissona wzorem:

$K={\frac {E}{3(1-2\nu )}}$

gdzie:

$E$ – moduł Younga; $\nu$ – współczynnik Poissona.

Zobacz też

• moduł ściśliwości

Bibliografia

• Bulk Elastic Properties. Georgia State University. [dostęp 2008-10-28].